Lodovico Ferrari

Lodovico Ferrari (ur. 2 lutego 1522 w Bolonii, zm. 5 października 1565 tamże) – matematyk włoski, odkrywca metody rozwiązywania równań czwartego stopnia.

Biografia

Po przedwczesnej śmierci ojca, Aleksandra Ferrari, Lodovico zamieszkał u swego stryja Vincenta. Stryjeczny brat Lodovica podjął pracę służącego u Girolamo Cardano, jednak samowolnie porzucił tę posadę po dość krótkim czasie. Cardano zażądał od Vincenta aby przysłał mu syna z powrotem do służby, ten jednak wysłał swego bratanka Lodovica. W ten sposób, w wieku lat czternastu, Lodovico został służącym i pomocnikiem Cardano. Ten ostatni, po odkryciu że Lodovico potrafi czytać i pisać, uczynił nastoletniego Lodovico swoim asystentem i studentem.

W 18. roku życia Lodovico zaczął uczyć matematyki, a w 1541 objął posadę wykładowcy geometrii w Fundacji Piatti (pozycję tę wcześniej zajmował Cardano).

Z racji swojej pozycji u boku Cardano a także wkładu w rozwiązywanie równań był uwikłany w spór pomiędzy Cardano i Tartaglią. Po opublikowaniu przez Cardano dzieła Ars Magna, Tartaglia starał się wezwać Cardano do publicznej debaty i zawodów matematycznych. Do ich "pojedynku" nigdy nie doszło, natomiast Tartaglia i Ferrari wymienili wiele oskarżeń i obraz w listach otwartych pisanych przy tej okazji. W dniu 10 sierpnia 1548, w Mediolanie, doszło do debaty pomiędzy Tartaglią i Ferrari. Z formalnego punktu widzenia, potyczka nie została rozstrzygnięta bowiem Tartaglia opuścił miasto przed jej ukończeniem. Jednak obserwujący zawody uznali, że Lodovico Ferrari posiada wiedzę i zrozumienie równań stopni 3 i 4 daleko przewyższającą wszystkich innych. Przyniosło to sporą sławę i uznanie młodemu Lodovico.

Po debacie Ferrari dostał wiele ofert pracy, akceptując posadę urzędnika podatkowego przy gubernatorze Mediolanu. W 1565 uzyskał pozycję profesora na Uniwersytecie Bolońskim.

Równania czwartego stopnia

W 1540 Lodovico Ferrari odkrył ogólną metodę redukcji równań czwartego stopnia do równań sześciennych. Razem z metodą rozwiązywania tych ostatnich opracowaną wcześniej przez Scipione del Ferro i Tartaglię pozwało to rozwiązać wszystkie typy równań stopnia 4. Wyniki te zostały opublikowane przez Cardano w Ars Magna w 1545.

W XVI wieku w Europie nie używano jeszcze liczb ujemnych, więc rozważane równania miały wiele nierównoważnych form (w celu zapewnienia dodatniości współczynników). Na przykład, równanie $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx+e = 0$ było uważane za różne od równania $ax^4 + bx^3 = cx^2 + dx+e$. Wszystkie 20 przypadków równań czwartego stopnia zostały w pełni opisane i rozwiązane w Ars magna.

Używając współczesnych oznaczeń, naszkicujemy metodę Ferrari zastosowaną do równania

(i)   $u^4+pu^2+qu+r=0$.

(Równanie $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx+e = 0$ może być zredukowane do powyższego przez podzielenie obu stron przez a i podstawienie $x=u-\frac{b}{4a}$)

Równanie (i) przekształcamy do $u^4 + 2pu^2 + p^2 = pu^2 - qu - r + p^2$, a następnie

(ii)   $(u^2 + p)^2 = pu^2 - qu - r + p^2$.

Używając równania (ii), dla liczby $v$ możemy napisać następujące równości

(iii)   $(u^2 + p + v)^2 = (u^2+p)^2+2v(u^2+p)+v^2=$

$pu^2 - qu - r + p^2 + 2v(u^2 + p) + v^2=$

$(p + 2v)u^2 - qu + (p^2 - r + 2pv + v^2)$, czyli

(iv)   $(u^2 + p + v)^2=(p + 2v)u^2 - qu + (p^2 - r + 2pv + v^2)$.

Wybierzmy liczbę $v$ tak aby

(v)   $(-q)^2 -4(p + 2v)(p^2 - r + 2pv + v^2) = 0.$

Aby to uczynić, przekształcamy równanie (v) do

(vi)   $(q^2 - 4p^3 + 4pr) + (-16p^2 + 8r)v - 20 pv^2 - 8v^3 = 0$,

co jest równaniem stopnia trzeciego (które może być rozwiązane metodami del Ferro i Tartaglii). Lewa strona równania (v) to wyróżnik wyrażenia kwadratowego $(p + 2v)u^2 - qu + (p^2 - r + 2pv + v^2)$ (gdzie zmienną wolną jest $u$). Zatem, przy naszym wyborze $v$, wyrażenie $(p + 2v)u^2 - qu + (p^2 - r + 2pv + v^2)$ jest pełnym kwadratem i równanie (i) zostaje zredukowane do

(vii)   $(u^2 + p + v)^2=(p + 2v)(u-\frac{q}{2(p + 2v)})^2$.

Powyższe równanie redukujemy już łatwo do równania kwadratowego.

Linki zewnętrzne

• John J. O'Connor; Edmund F. Robertson: Lodovico Ferrari w MacTutor History of Mathematics archive (ang.)
• Równania kwadratowe, sześcienne i czwartego stopnia w serwisie MacTutor History of Mathematics archive