Miara Hausdorffa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Miara Hausdorffa – w matematyce rodzaj miary zewnętrznej, która przypisuje liczbę z zakresu [0,∞] do każdego zbioru w przestrzeni Rn lub, bardziej ogólnie, w dowolnej przestrzeni metrycznej. Zerowymiarowa miara Hausdorffa to liczba punktów w zbiorze (jeśli jest skończony) lub ∞ jeśli jest nieskończony. Jednowymiarowa miara Hausdorffa zwykłej krzywej w Rn jest równa jej długości. Podobnie, dwuwymiarowa miara Hausdorffa mierzalnego podzbioru w R2 jest proporcjonalna do powierzchni tego zbioru. Stąd wynika, że miara Hausdorffa jest uogólnieniem wyliczenia, długości, powierzchni lub objętości. Istnieją d−wymiarowe miary Hausdorffa dla dowolnego d ≥ 0, które niekoniecznie jest całkowite. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Feliksa Hausdorffa. Miary te są podstawowe w geometrycznej teorii miary. Pojawiają się one naturalnie w analizie harmonicznej lub teorii potencjału.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech (X,\rho) będzie przestrzenią metryczną. Dla dowolnego podzbioru \scriptstyle U\subset X, niech \mathrm{diam}\;U oznacza jego średnicę, to jest

\mathrm{diam}\;U :=\sup\{\rho(x,y)|x,y\in U\}, \quad \mathrm{diam}\;\emptyset:=0

Niech \scriptstyle S będzie dowolnym podzbiorem \scriptstyle X, a \scriptstyle \delta>0 liczbą rzeczywistą. Definiuje się

H^d_\delta(S)=\inf\Bigl\{\sum_{i=1}^\infty (\operatorname{diam}\;U_i)^d: \bigcup_{i=1}^\infty U_i\supseteq S,\,\operatorname{diam}\;U_i<\delta\Bigr\}

Należy zauważyć, że \scriptstyle H^d_\delta(S) zmniejsza się monotoniczne wraz δ gdyż im większe jest δ tym więcej zestawów zbiorów jest dozwolonych, powodując, że infimum jest mniejsze. Zatem granica \scriptstyle\lim_{\delta\to 0}H^d_\delta(S) istnieje, lecz może być nieskończona. Niech

 H^d(S):=\sup_{\delta>0} H^d_\delta(S)=\lim_{\delta\to 0}H^d_\delta(S)

Można zauważyć, że \scriptstyle H^d(S) jest miarą zewnętrzną. Nazywa się ją \scriptstyle d−wymiarową miarą Hausdorffa z \scriptstyle S.

Według powyższej definicji zbiory pokrywające są dowolne. Jednak mogą one być otwarte lub zamknięte, a i tak wywołają taką samą miarę, mimo, że przybliżenia \scriptstyle H^d_\delta(S) mogą się różnić[1].

Własności[edytuj | edytuj kod]

Jeśli d jest dodatnią liczbą całkowitą, d wymiarowa miara Hausdorffa w Rd jest przeskalowaną typową d−wymiarową miarą Lebesgue'a \lambda_d, która jest znormalizowana w taki sposób, że miara kostki jednostkowej [0,1]d wynosi 1. Istotnie, dla dowolnego zbioru borelowskiego E

\lambda_d(E) = 2^{-d} \alpha_d H^d(E)\,

gdzie αd to objętość hiperkuli jednostkowej

\alpha_d = \frac{\pi^{d/2}}{\Gamma(\frac{d}{2}+1)}.

Uwaga: spotyka się też definicje miary Hausdorffa unormowane w taki sposób aby odpowiadały one dokładnie miarom Lebesgue'a stosownie do całkowitego wymiaru d przestrzeni euklidesowej.

Związek z wymiarem Hausdorffa[edytuj | edytuj kod]

Jedna z kilku możliwych równoważnych definicji wymiaru Hausdorffa to

\operatorname{dim}_{\mathrm{Haus}}(S)=\inf\{d\ge 0:H^d(S)=0\}=\sup\bigl(\{d\ge 0:H^d(S)=\infty\}\cup\{0\}\bigr)

gdzie przyjmuje się

\inf\emptyset=\infty\,

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Federer 1969, §2.10.2

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]