Miara zewnętrzna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Miara zewnętrzna – w teorii miary monotoniczna i przeliczalnie podaddytywna funkcja zbiorów określona na rodzinie wszystkich podzbiorów danego zbioru. Prace nad nimi zapoczątkował[1] grecki matematyk Constantin Carathéodory[2]; z tego powodu funkcje tego rodzaju nazywa się też niekiedy miarami Carathéodory'ego.

Miary zewnętrzne znalazły wiele zastosowań w teorio-miarowej teorii mnogości: wykorzystuje się przede wszystkim do konstrukcji miar, w tym miary Lebesgue'a, za pomocą twierdzenia Carathéodory'ego o rozszerzeniu miary; ponadto były one kluczowe do zdefiniowania przez Feliksa Hausdorffa wymiaropodobnego niezmiennika metrycznego nazywanego dziś wymiarem Hausdorffa.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathcal{P}(X) oznacza zbiór potęgowy pewnego zbioru X. Funkcję \theta\colon \mathcal P(X) \to [0, \infty] nazywa się miarą zewnętrzną (w zbiorze X), gdy spełnia następujące warunki:

  • \theta(\varnothing) = 0,
  • jeżeli A \subseteq B, to \theta(A) \leqslant \theta(B) dla dowolnych A, B \subseteq X,
  • \theta\Big(\bigcup_{n =1}^\infty~A_n\Big) \leqslant \sum_{n = 1}^\infty~\theta(A_n) dla dowolnych A_1, A_2, \dots \subseteq X.

Twierdzenie Carathéodory'ego[edytuj | edytuj kod]

Niech \theta będzie miarą zewnętrzną w zbiorze X. Mówi się, że zbiór E \subseteq X spełnia warunek Carathéodory'ego względem \theta, jeśli dla każdego A \subseteq X spełniona jest równość

\theta(A) = \theta(A \cap E) + \theta(A \cap E^\operatorname c),

która (z monotoniczności funkcji \theta) jest równoważna równości

\theta(A) \geqslant \theta(A \cap E) + \theta(A \cap E^\operatorname c).

Równoważnie można to wyrazić następująco: zbiór E spełnia warunek Carathéodory'ego, gdy dla dowolnych zbiorów wewnętrznego W \subseteq E oraz zewnętrznego Z \subseteq E^\operatorname c spełniona jest równość:

\theta(W \cup Z) = \theta(W) + \theta(Z).

Rodzinę zbiorów \mathcal C(\theta) spełniających warunek Carathéodory'ego (względem \theta) nazywa się też zbiorami mierzalnymi w sensie Carathéodory'ego. Twierdzenie Carathéodory'ego mówi, że \mathcal C(\theta) jest σ-ciałem, a \theta zawężona do \mathcal C(\theta) jest miarą zupełną, nazywaną miarą wyciętą z \theta.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Miara zewnętrzna wyznaczona przez miarę

Niech \mu będzie miarą na przestrzeni mierzalnej (X, \mathcal{F}). Funkcja \mu^*\colon \mathcal{P}(X)\to [0,\infty] dana wzorem

\mu^*(A)=\inf\{\mu(E)\colon\, A\subseteq E,\, E\in\mathcal{F}\}

jest miarą zewnętrzną nazywaną miarą zewnętrzną wyznaczoną przez miarę \mu.

Jeżeli \mu jest miarą wyciętą z miary zewnętrznej \theta przy użyciu metody Caratheodory'ego oraz \mu^* jest miarą zewnętrzną wyznaczoną przez miarę \mu, to na ogół miary \theta i \mu^* są różne. W przypadku, gdy \mu jest miarą Lebesgue'a (którą można skonstruować przy użyciu wspomnianej metody z miary zewnętrznej Lebesgue'a \theta), to \theta = \mu^*.

Miara zewnętrzna wyznaczona przez funkcję zbiorów

Niech X będzie niepustym zbiorem oraz \gamma\colon \mathcal{P}(X)\to [0,\infty] będzie dowolną funkcją. Funkcja \theta\colon \mathcal{P}(X)\to [0,\infty] dana wzorem

\theta(A) = \inf\Bigg\{\sum_{B \in \mathcal C} \gamma(B)\colon \mathcal C jest przeliczalną rodziną zbiorów, których suma pokrywa A\Bigg\}.

jest miarą zewnętrzną, nazywaną miarą zewnętrzną wyznaczoną przez funkcję zbiorów \gamma.

Miara zewnętrzna Hausdorffa i jej modyfikacje
 Osobny artykuł: miara Hausdorffa.

Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną, \gamma\colon \mathcal{P}(X)\to [0,\infty] będzie dowolną funkcją oraz \delta>0. Funkcja \theta_{\gamma, \delta} dana wzorem

\theta_{\gamma, \delta}(A) = \inf\Bigg\{\sum_{B \in z\mathcal C_\delta} \gamma(B)\colon \mathcal C_\delta jest przeliczalną rodziną zbiorów o średnicy nie większej niż \delta, których suma pokrywa A\Bigg\}

jest miarą zewnętrzną w zbiorze X.

Jeżeli A\subseteq X oraz \delta<\delta^', to \theta_{\gamma, \delta}(A)\geqslant \theta_{\gamma, \delta^'}(A). Funkcja dana wzorem

\theta_{\gamma}(A)=\sup\{\theta_{\gamma, \delta}(A)\colon \delta>0\}

jest również miarą zewnętrzną. Jeżeli r>0 oraz funkcja \gamma dana jest wzorem

\gamma(A)=(\operatorname{diam}A)^r,

to miara zewnętrzna \theta_{\gamma} nazywana jest r-wymiarową miarą zewnętrzną Hausdorffa w X.

Miary zewnętrzne metryczne[edytuj | edytuj kod]

Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną oraz \theta będzie miarą zewnętrzną w X. Miarę \theta nazywa się miarą zewnętrzną metryczną (w przestrzeni X), gdy

\theta(A \cup B) = \theta(A) + \theta(B)

dla wszystkich A,B\subseteq X, dla których

d(A,B)=\inf\{d(x,y)\colon\, x\in A,\, y\in B\}>0

(w przypadku, gdy jeden ze zbiorów A lub B jest pusty przyjmuje się, że d(A,B)=\infty).

Jeśli \theta jest miarą zewnętrzną metryczną w X, to dla każdego takiego ciągu podzbiorów (A_n) zbioru X o tej własności, że

d(A_n, A\setminus A_{n+1})>0

dla każdej liczby naturalnej n, który spełnia warunek

A_1 \subseteq A_2 \subseteq \dots \subseteq A = \bigcup_{n=1}^\infty A_n,

zachodzi równość

\theta(A) = \sup \{\theta(A_n)\colon\; n=1,2, \ldots\}.

Ponadto wszystkie domknięte podzbiory przestrzeni X są mierzalne w sensie Carathéodory'ego względem \theta, wynika więc stąd, że i każdy borelowski podzbiór przestrzeni X jest mierzalny w sensie Carathéodory'ego względem \theta.

Przypisy

  1. Charalambos D. Aliprantis, Kim C. Border: Infinite Dimensional Analysis. Wyd. III. Springer, 2006, s. 379. ISBN 3-540-29586-0.
  2. Constantin Carathéodory: Vorlesungen über reelle Funktionen. Wyd. I (II). Berlin: Lipsk (New York: Chelsea): 1918 (1948).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • David Fremlin: Measure Theory. T. 1: The Irreducible Minimum. University of Essex, 2004.
  • David Fremlin: Measure Theory. T. 4: Topological Measure Spaces. Torres Fremlin, 2003, s. 100-101.
  • Paul Halmos: Measure theory. D. van Nostrand and Co., 1950.
  • Marshall E. Munroe: Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley, 1953.
  • Andriej N. Kołmogorow, Siergiej W. Fomin: Introductory Real Analysis. Richard A. Silverman (tł.). Nowy Jork: Dover Publications, 1970. ISBN 0-486-61226-0.
  • Claude A. Rogers: Hausdorff measures. Wyd. III. Cambridge: Cambridge University Press, 1998, s. xxx + 195, seria: Cambridge Mathematical Library. ISBN 0-521-62491-6.