Objętość (matematyka)

Objętość – miara 3-wymiarowej przestrzeni.

Konstrukcja pojęcia

W matematyce objętość najprościej zdefiniować w następujący sposób:

Pokrywamy całą przestrzeń siatką przylegających sześcianów o bokach $a_{1}.$
Liczbę sześcianów, które mają choćby jeden punkt wspólny z bryłą lub obszarem przestrzeni, którego objętość chcemy obliczyć oznaczmy przez $n_{1}.$

Tworząc rozmaite siatki sześcianów o coraz to mniejszych krawędziach $a_{2}<a_{1},$ $a_{3}<a_{2}$ itd. uzyskamy ciąg liczb $n_{1},n_{2},...$ Objętością nazywamy granicę:

V=\lim _{i\to \infty }n_{i}~a_{i}^{3}.

Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, objętości nie da się obliczyć tą metodą.

Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę – choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie posiada podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować objętość: objętość dwóch nie nachodzących na siebie brył może być większa niż objętość bryły powstałej z ich połączenia.

Przykład: zbiory

\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon \,x,y,z\in \mathbb {Q} ,\,0<x,y,z<1\}

oraz

\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon \,x,y,z\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ,\,0<x,y,z<1\}

mają obydwa objętości równe jeden, są rozłączne (mają pusty przekrój), a ich suma (czyli wnętrze sześcianu) również ma objętość równą jeden.

Udowodniono jednak, iż nie istnieje żadna nietrywialna funkcja, którą dałoby się zmierzyć dowolną bryłę i która dla dwóch rozłącznych brył dawałaby wynik równy ich sumie.

Osobny artykuł: Miara Lebesgue’a.

Objętość pod powierzchnią

Objętość między powierzchnią daną równaniem $z=f(x,y),$ a płaszczyzną $OXY$ w obszarze $x_{1}<x<x_{2},y_{1}<y<y_{2}$ jest równe całce podwójnej

V=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}\int \limits _{y_{1}}^{y_{2}}|f(x,y)|dy~dx.

Jednostki objętości

Za jednostkę objętości przyjmuje się sześcian o długości krawędzi odpowiadających jednostce długości w danym systemie miar. W układzie SI jednostką objętości jest sześcian o boku 1 metra, czyli metr sześcienny.

Zobacz też