Objętość (matematyka)

Objętość jest miarą przestrzeni.

Konstrukcja pojęcia

W matematyce objętość najprościej zdefiniować w następujący sposób:

• Pokrywamy całą przestrzeń siatką przylegających sześcianów o bokach $a_1$.
• Liczbę sześcianów, które mają choćby jeden punkt wspólny z bryłą lub obszarem przestrzeni, którego objętość chcemy obliczyć oznaczmy przez $n_1$.

Tworząc rozmaite siatki sześcianów o coraz to mniejszych krawędziach $a_2<a_1$, $a_3<a_2$, itd. uzyskamy ciąg liczb $n_1, n_2,...$. Objętością nazywamy granicę:

$V=\lim_{i \to \infty}n_i~a_i^3$.

Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, objętości nie da się obliczyć tą metodą.

Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę – choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie posiada podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować objętość: objętość dwóch nie nachodzących na siebie brył może być większa niż objętość bryły powstałej z ich połączenia.

Przykład: zbiory

$\{(x,y,z) \in \mathbb R^3\colon\, x,y,z\in \mathbb{Q},\, 0< x, y, z<1\}$

oraz

$\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\colon\, x,y,z\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q},\, 0<x, y, z<1 \}$

mają obydwa objętości równe jeden, są rozłączne (mają pusty przekrój), a ich suma (czyli wnętrze sześcianu) również ma objętość równą jeden.

Udowodniono jednak, iż nie istnieje żadna nietrywialna funkcja, którą dałoby się zmierzyć dowolną bryłę i która dla dwóch rozłącznych brył dawałaby wynik równy ich sumie.

Objętość pod powierzchnią

Objętość między powierzchnią daną równaniem $z=f(x,y)$, a płaszczyzną $OXY$ w obszarze $x_1<x<x_2, y_1<y<y_2$ jest równe całce podwójnej

$V=\int\limits_{x_1}^{x_2}\int\limits_{y_1}^{y_2}|f(x,y)|dy~dx$.

Jednostki objętości

Za jednostkę objętości przyjmuje się sześcian o długości krawędzi odpowiadających jednostce długości w danym systemie miar. W układzie SI jednostką objętości jest sześcian o boku 1 metra, czyli metr sześcienny.

Zobacz też

• jednostki miar objętości
• pole powierzchni
• całka Lebesgue'a