Objętość (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy objętości w geometrii trójwymiarowej. Zobacz też: inne znaczenia.

Objętość jest miarą przestrzeni.

Konstrukcja pojęcia[edytuj | edytuj kod]

W matematyce objętość najprościej zdefiniować w następujący sposób:

  • Pokrywamy całą przestrzeń siatką przylegających sześcianów o bokach a_1.
  • Liczbę sześcianów, które mają choćby jeden punkt wspólny z bryłą lub obszarem przestrzeni, którego objętość chcemy obliczyć oznaczmy przez n_1.

Tworząc rozmaite siatki sześcianów o coraz to mniejszych krawędziach a_2<a_1, a_3<a_2, itd. uzyskamy ciąg liczb n_1, n_2,.... Objętością nazywamy granicę:

V=\lim_{i \to \infty}n_i~a_i^3.

Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, objętości nie da się obliczyć tą metodą.

Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę – choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie posiada podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować objętość: objętość dwóch nie nachodzących na siebie brył może być większa niż objętość bryły powstałej z ich połączenia.

Przykład: zbiory

\{(x,y,z) \in \mathbb R^3\colon\, x,y,z\in \mathbb{Q},\, 0< x, y, z<1\}

oraz

\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\colon\, x,y,z\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q},\, 0<x, y, z<1 \}

mają obydwa objętości równe jeden, są rozłączne (mają pusty przekrój), a ich suma (czyli wnętrze sześcianu) również ma objętość równą jeden.

Udowodniono jednak, iż nie istnieje żadna nietrywialna funkcja, którą dałoby się zmierzyć dowolną bryłę i która dla dwóch rozłącznych brył dawałaby wynik równy ich sumie.

 Osobny artykuł: Miara Lebesgue'a.

Objętość pod powierzchnią[edytuj | edytuj kod]

Objętość między powierzchnią daną równaniem z=f(x,y), a płaszczyzną OXY w obszarze x_1<x<x_2, y_1<y<y_2 jest równe całce podwójnej

V=\int\limits_{x_1}^{x_2}\int\limits_{y_1}^{y_2}|f(x,y)|dy~dx.

Jednostki objętości[edytuj | edytuj kod]

Za jednostkę objętości przyjmuje się sześcian o długości krawędzi odpowiadających jednostce długości w danym systemie miar. W układzie SI jednostką objętości jest sześcian o boku 1 metra, czyli metr sześcienny.


Zobacz też[edytuj | edytuj kod]