Komutant

Komutant – szczególna podgrupa danej grupy pomocna przy badaniu jej przemienności.

Definicja

Niech $G$ będzie grupą, zaś $A,\ B\subseteq G$ dowolnymi jej podzbiorami. Komutantem $[A,B]$ zbiorów $A$ i $B$ nazywa się podgrupę generowaną przez wszystkie komutatory $[a,b]=aba^{-1}b^{-1},$ gdzie $a\in A$ i $b\in B.$

Komutantem lub pochodną grupy $G$ nazywa się komutant $[G,G]$ oznaczany też $G'$ lub $G^{(1)}.$ Indukcyjnie definiuje się także n-tą pochodną grupy $G$ jako: $G^{(n+1)}={\big [}G^{(n)},G^{(n)}{\big ]};$ definiuje się również $G^{(0)}=G.$

Własności

• Jeżeli dla pewnego $n$ grupa $G^{(n)}$ jest trywialna, to $G$ jest grupą rozwiązalną (jest to jedna z alternatywnych definicji).
• Jeżeli grupa $[G,\;G]$ jest trywialna, to $G$ jest abelowa.
• Komutant grupy jest jej podgrupą charakterystyczną, a zatem podgrupą normalną.

Abelianizacja

Grupę ilorazową $G/[G,G]$ oznaczaną $G_{\mathrm {ab} }$ bądź $G^{\mathrm {ab} }$ nazywa się abelianizacją bądź uprzemiennieniem grupy $G.$ Abelianizacja grupy, jak sama nazwa wskazuje, jest grupą abelową. Jest to największa grupa abelowa będąca obrazem $G.$ Co więcej, grupa ilorazowa $G/H$ jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy $H$ zawiera $[G,G].$ „Wysoce nieprzemienne” grupy, czyli takie, których abelianizacje są grupami trywialnymi nazywane są grupami doskonałymi.

Zobacz też

• grupa doskonała
• grupa rozwiązalna

Bibliografia

• A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
• Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4.