Podgrupa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Podgrupa – w teorii grup zbiór elementów danej grupy, który sam tworzy grupę z działaniem grupy wyjściowej; inaczej podzbiór grupy zamknięty na działanie grupowe i branie odwrotności, który zawiera jej element neutralny (zob. działanie wewnętrzne).

Podgrupy to te z podzbiorów grup, które odzwierciedlają i zachowują ich strukturę algebraiczną; badanie podgrup danej grupy (nazywanej czasem w tym kontekście nadgrupą) dostarcza o niej wielu istotnych informacji umożliwiając głębsze zrozumienie jej budowy. Niekiedy podgrupy wkomponowane są w grupę w szczególny sposób: są niezmiennikami przekształceń algebraicznych (podgrupa normalna, podgrupa charakterystyczna), umożliwiają jednoznaczne przedstawienie elementu grupy jako sumy/iloczynu elementów ich „rozłącznych”[1] podgrup (składnik/czynnik prosty, zob. suma prosta/iloczyn prosty podgrup); w teorii grup przemiennych rozpatruje się podgrupy czyste oraz podgrupy istotne[2] o nieco słabszych, lecz nadal przydatnych, własnościach (przy potencjalnie większej ich liczbie, co ułatwia wskazanie podgrup o lepszych własnościach).

Charakteryzacja[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: grupapodzbiór.

Niech \scriptstyle G będzie grupą; podzbiór \scriptstyle H \subseteq G, który tworzy grupę ze względu na działanie określone na \scriptstyle G nazywa się podgrupą grupy \scriptstyle G i oznacza zwykle \scriptstyle H \leqslant G. Dokładniej, podgrupę \scriptstyle H charakteryzują następujące warunki:

  • Wewnętrzność: działanie grupowe na \scriptstyle H jest zawężeniem działania grupy \scriptstyle G do zbioru \scriptstyle H; dlatego iloczyn elementów \scriptstyle a, b \in H obliczany jest jako iloczyn elementów \scriptstyle a oraz \scriptstyle b w grupie \scriptstyle G; aby uzyskać dwuargumentowe działanie wewnętrzne na \scriptstyle H dane wzorem \scriptstyle (a, b) \mapsto ab tak jak w grupie \scriptstyle G potrzeba, a zarazem wystarcza, by \scriptstyle ab \in H dla wszystkich \scriptstyle a, b \in H. Innymi słowy zbiór \scriptstyle H musi być zamknięty ze względu na działanie w \scriptstyle G.
  • Łączność: działanie w \scriptstyle H musi być łączne, czyli dla wszystkich \scriptstyle a, b, c \in H musi zachodzić \scriptstyle (ab)c = a(bc); wiadomo jednak, że \scriptstyle (ab)c = a(bc) dla \scriptstyle a, b, c \in G, a ponieważ \scriptstyle H \subseteq G, to powyższy warunek odnosi się w szczególności do elementów \scriptstyle a, b, c \in H; w ten sposób łączność działania w \scriptstyle H dana jest automatycznie (tzn. wynika wprost z łączności działania w \scriptstyle G).
  • Element neutralny: zbiór \scriptstyle H nie może być pusty, gdyż jako grupa \scriptstyle H musi mieć element neutralny; niech \scriptstyle e \in H spełnia \scriptstyle ae = a dla dowolnego \scriptstyle a \in H; w szczególności dla elementu neutralnego \scriptstyle e grupy \scriptstyle H zachodzi \scriptstyle ee = e, a ponieważ \scriptstyle e \in H \subseteq G, to z charakteryzacji elementu neutralnego grupy wynika, że \scriptstyle e jest elementem neutralnym grupy \scriptstyle G; oznacza to, że element neutralny grupy \scriptstyle G jest zarazem elementem neutralnym w \scriptstyle H, o ile tylko należy on do \scriptstyle H, tzn. nie trzeba szukać elementu neutralnego w \scriptstyle H, gdyż jest on niejako z góry – wystarczy tylko sprawdzić, czy element neutralny w \scriptstyle G należy do \scriptstyle H.
  • Odwracalność: dla każdego \scriptstyle a \in H musi istnieć \scriptstyle x \in H, dla których \scriptstyle ax = e; odczytanie tego równania w grupie \scriptstyle G daje natychmiastowo rozwiązanie \scriptstyle x = a^{-1} w postaci elementu odwrotnego do \scriptstyle a w grupie \scriptstyle G; element odwrotny do \scriptstyle a istnieje w \scriptstyle G, dlatego nie trzeba go szukać, lecz wystarczy sobie jedynie zapewnić, iż element odwrotny \scriptstyle a^{-1} do \scriptstyle a należący do \scriptstyle G jest również elementem \scriptstyle H.

Podsumowując: niepusty podzbiór \scriptstyle H grupy \scriptstyle G jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy

  • jest zamknięty na działanie: \scriptstyle ab \in H dla wszystkich \scriptstyle a, b \in H;
  • zawiera element neutralny: \scriptstyle e \in H;
  • jest zamknięty na odwracanie: \scriptstyle a^{-1} \in H dla każdego \scriptstyle a \in H.

Co więcej, drugi warunek wynika z pierwszego i trzeciego: niech \scriptstyle a \in H (gdyż \scriptstyle H jest niepusty, \scriptstyle H \ne \varnothing), wtedy z trzeciego warunku \scriptstyle a^{-1} \in H, a więc \scriptstyle aa^{-1} \in H na mocy pierwszego, co daje \scriptstyle e \in H. Innymi słowy sprawdzenie, czy \scriptstyle e \in H można pominąć zakładając, iż \scriptstyle H jest niepusty; z drugiej strony jeśli nie wiadomo a priori, czy \scriptstyle H \ne \varnothing, to najszybszym sposobem zapewnienia tego warunku jest właśnie sprawdzenie, czy \scriptstyle e \in H. Na podstawie powyższych obserwacji można zatem sformułować

Kryterium bycia podgrupą
Niepusty podzbiór \scriptstyle H grupy \scriptstyle G jest jej podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunki
ab \in H \;\;\qquad\mbox{ dla wszystkich } a, b \in H;
oraz
a^{-1} \in H \qquad\mbox{ dla każdego } a \in H.

Powyższe dwa warunki (wraz z \scriptstyle H \ne \varnothing) często łączy się w jeden: \scriptstyle a^{-1}b \in H dla wszystkich \scriptstyle a, b \in H[3]; jest on zupełnie równoważny warunkowi \scriptstyle ab^{-1} \in H dla wszystkich \scriptstyle a, b \in H[4]. W przypadku skończonym wystarczający jest warunek zamkniętości działania, tzn. prawdziwe jest następujące

Kryterium bycia podgrupą skończoną
Niepusty podzbiór skończony \scriptstyle H grupy \scriptstyle G bądź niepusty podzbiór \scriptstyle H grupy skończonej \scriptstyle G jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle ab \in H dla wszystkich \scriptstyle a, b \in H[5][6].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Podgrupy trywialna i niewłaściwa
Information icon.svg Zobacz też: grupa trywialna.
W dowolnej grupie \scriptstyle G zbiór jednoelementowy \scriptstyle \{e\} oraz zbiór \scriptstyle G są podgrupami nazywanymi odpowiednio podgrupą trywialną oraz podgrupą niewłaściwą (podgrupy, które nie są trywialne bądź niewłaściwe nazywa się odpowiednio nietrywialnymi oraz właściwymi); jeżeli \scriptstyle H jest podgrupą właściwą w \scriptstyle G, to czasem używa się oznaczenia \scriptstyle H < G[7], nietrywialność podgrupy zaznaczana jest osobno. Jeżeli \scriptstyle H jest podgrupą w \scriptstyle G, zaś \scriptstyle K jest podgrupą w \scriptstyle H, to \scriptstyle K jest podgrupą w \scriptstyle G.
Kryterium bycia podgrupą
Niech \scriptstyle 4\mathbb Z = \{4z \in \mathbb Z\colon z \in \mathbb Z\} = \{u \in \mathbb Z\colon 4 \mid u\} będzie podzbiorem liczb całkowitych \scriptstyle \mathbb Z podzielnych przez \scriptstyle 4. Zbiór \scriptstyle \mathbb Z tworzy grupę ze względu na dodawanie (wprost z konstrukcji), zaś zbiór \scriptstyle 4\mathbb Z jest zamknięty ze względu na dodawanie i branie odwrotności[8], a więc \scriptstyle 4\mathbb Z jest podgrupą w \scriptstyle \mathbb Z. Analogicznie dowodzi się, że zbiór \scriptstyle n\mathbb Z = \{nz \in \mathbb Z\colon z \in \mathbb Z\} dla dowolnego \scriptstyle n będącego liczbą naturalną jest podgrupą w \scriptstyle \mathbb Z, a ponadto wszystkie jej podgrupy mają tę postać.
Zbiór dodatnich liczb wymiernych tworzy podgrupę \scriptstyle \mathbb Q^\times_+ w grupie \scriptstyle \mathbb Q^\times niezerowych liczb wymiernych z działaniem mnożenia (iloczyn dowolnych dwóch niezerowych liczb wymiernych dalej jest niezerową liczbą wymierną i podobnie odwrotność niezerowej liczby wymiernej jest niezerową liczbą wymierną), co wynika wprost z własności iloczynu i odwrotności liczb wymiernych: jeśli \scriptstyle a, b > 0, to \scriptstyle ab > 0 oraz \scriptstyle \frac1a > 0; podobne obserwacje dotyczą liczb rzeczywistych \scriptstyle \mathbb R (należy wyżej zastąpić \scriptstyle \mathbb Q znakiem \scriptstyle \mathbb R i wyraz „wymierny” za pomocą „rzeczywisty”).
Jeżeli \scriptstyle H_1, H_2 są podgrupami w \scriptstyle G, to ich część wspólna \scriptstyle H_1 \cap H_2 również jest podgrupą w \scriptstyle G. Istotnie, \scriptstyle H_1 \cap H_2 \ne \varnothing, gdyż \scriptstyle e \in H_1 oraz \scriptstyle e \in H_2; ponadto jeżeli \scriptstyle a, b \in H_1 \cap H_2, to \scriptstyle a, b \in H_1 i \scriptstyle a, b \in H_2, skąd \scriptstyle ab \in H_1 i \scriptstyle ab \in H_2, a więc \scriptstyle ab \in H_1 \cap H_2; dodatkowo z \scriptstyle a \in H_1 \cap H_2 wynika \scriptstyle a \in H_1 i \scriptstyle a \in H_2, a więc \scriptstyle a^{-1} \in H_1 i \scriptstyle a^{-1} \in H_2, co pociąga \scriptstyle a^{-1} \in H_1 \cap H_2; stąd \scriptstyle H_1 \cap H_2 jest podgrupą w \scriptstyle G. Analogicznie dowodzi się, że część wspólna \scriptstyle \bigcap_{i \in I} H_i rodziny \scriptstyle \{H_i\}_{i \in I} podgrup grupy \scriptstyle G indeksowanej za pomocą pewnego zbioru indeksów \scriptstyle I również jest podgrupą w \scriptstyle G.
Niech \scriptstyle S oznacza zbiór wszystkich wzajemnie jednoznacznych odwzorowań przedziału jednostkowego \scriptstyle [0, 1] liczb rzeczywistych; tworzy on grupę ze względu na składanie odwzorowań (zob. grupa: Przykłady). Zbiór \scriptstyle T = \displaystyle\{\scriptstyle f \in S\colon f(0) = 0\displaystyle\} jest podgrupą w \scriptstyle S jako jej niepusty podzbiór zamknięty na składanie i odwracanie funkcji:
  • Otóż zbiór \scriptstyle T jest niepusty, gdyż należy do niego odwzorowanie tożsamościowe \scriptstyle i \in S dane wzorem \scriptstyle i(x) = x, dla którego zachodzi \scriptstyle i(0) = 0.
  • Ponadto jeżeli \scriptstyle f, g \in T, to \scriptstyle f(0) = 0 oraz \scriptstyle g(0) = 0, co oznacza \scriptstyle (f \circ g)(0) = f\displaystyle(\scriptstyle g(0)\displaystyle)\scriptstyle = f(0) = 0, a więc \scriptstyle f \circ g \in T.
  • Wreszcie jeśli \scriptstyle f \in T, to \scriptstyle f(0) = 0, a zatem \scriptstyle f^{-1}\displaystyle(\scriptstyle f(0)\displaystyle)\scriptstyle = f^{-1}(0), stąd \scriptstyle \left(f^{-1} \circ f\right)(0) = i(0) = f^{-1}(0), tzn. \scriptstyle 0 = f^{-1}(0), czyli \scriptstyle f^{-1} \in T.
Kryterium bycia podgrupą skończoną
Niech dany będzie podzbiór \scriptstyle U = \left\{\overline 1, \overline 3, \overline 5, \overline 7\right\} grupy \scriptstyle \mathbb Z_8 wraz z mnożeniem modulo \scriptstyle 8, przy czym \scriptstyle \overline x oznacza redukcję liczby całkowitej \scriptstyle x modulo \scriptstyle 8 (tzn. resztę z dzielenia \scriptstyle x przez \scriptstyle 8). Ponieważ
\begin{matrix} \overline 1\ \overline 1 = \overline 1,\quad & \overline 1\ \overline 3 = \overline 3,\quad & \overline 1\ \overline 5 = \overline 5,\quad & \overline 1\ \overline 7 = \overline 7, \\ \overline 3\ \overline 1 = \overline 3,\quad & \overline 3\ \overline 3 = \overline 1,\quad & \overline 3\ \overline 5 = \overline 7,\quad & \overline 3\ \overline 7 = \overline 5, \\ \overline 5\ \overline 1 = \overline 5,\quad & \overline 5\ \overline 3 = \overline 7,\quad & \overline 5\ \overline 5 = \overline 1,\quad & \overline 5\ \overline 7 = \overline 3, \\ \overline 7\ \overline 1 = \overline 7,\quad & \overline 7\ \overline 3 = \overline 5,\quad & \overline 7\ \overline 5 = \overline 3,\quad & \overline 7\ \overline 7 = \overline 1, \end{matrix}
to zbiór \scriptstyle U jest zamknięty ze względu na mnożenie. Skoro \scriptstyle \mathbb Z_8 jest zbiorem skończonym, to na podstawie kryterium bycia podgrupą skończoną zbiór \scriptstyle U powinien być podgrupą w \scriptstyle \mathbb Z_8. Byłaby to prawda, gdyby \scriptstyle \mathbb Z_8 była grupą ze względu na mnożenie (nie jest nią, gdyż nie istnieje np. odwrotność elementu \scriptstyle \overline 0); jest ona jednak grupą ze względu na dodawanie, co (jak się okazuje) jest zupełnie czymś innym – aby poprawnie zastosować wspomniane kryterium, należy się więc najpierw upewnić, że nadzbiór tworzy grupę.
Mimo to \scriptstyle U jest grupą ze względu na mnożenie[9]: z powyższych rozważań wynika, że zbiór ten jest zamknięty na mnożenie, które jest łączne (jest ono w istocie łączne na \scriptstyle \mathbb Z_8, co wynika z własności arytmetyki modularnej); ponadto \scriptstyle \overline 1 \in U oraz \scriptstyle \overline a\ \overline 1 = \overline a dla wszystkich \scriptstyle \overline a \in U (z powyższych rozważań lub własności arytmetyki modularnej), skąd \scriptstyle \overline 1 jest elementem neutralnym w \scriptstyle U; każdy element \scriptstyle U ma odwrotność należącą do \scriptstyle U – wynika to z równań \scriptstyle \overline 1\ \overline 1 = \overline 1, \scriptstyle \overline 3\ \overline 3 = \overline 1, \scriptstyle \overline 5\ \overline 5 = \overline 1, \scriptstyle \overline 7\ \overline 7 = \overline 1, oraz \scriptstyle \overline 1, \overline 3, \overline 5, \overline 7 \in U. Korzystając z kryterium bycia podgrupą skończoną można się przekonać, iż podzbiory \scriptstyle \left\{\overline 1, \overline 3\right\}, \scriptstyle \left\{\overline 1, \overline 5\right\}, \scriptstyle \left\{\overline 1, \overline 7\right\} są nietrywialnymi podgrupami właściwymi w \scriptstyle U, gdyż są one zamknięte ze względu na mnożenie (są to jedyne tego rodzaju podgrupy w tej grupie). Podgrupy w \scriptstyle U mają rzędy \scriptstyle 1, 2, 4, które są dzielnikami rzędu \scriptstyle |U| = 4 grupy \scriptstyle U.
Podzbiór \scriptstyle E = \{1, -1, i, -i\} tworzy podgrupę grupy \scriptstyle \mathbb C^\times niezerowych liczb zespolonych względem mnożenia na podstawie kryterium bycia podgrupą skończoną, gdyż jest zamknięta na branie iloczynów. To samo kryterium mówi, że \scriptstyle \{1, -1\} jest podgrupą w \scriptstyle E. Ponadto grupa ta nie ma innych nietrywialnych podgrup właściwych, gdyż jeśli podgrupa ta zawierałaby \scriptstyle i lub \scriptstyle -i, to musiałaby także zawierać \scriptstyle i^2, i^3, i^4 lub \scriptstyle (-i)^2, (-i)^3, (-i)^4, czyli tworzyłaby wtedy całą grupę \scriptstyle E. Dlatego \scriptstyle E ma dokładnie trzy podgrupy: jedną rzędu \scriptstyle 1, jedną rzędu \scriptstyle 2 i jedną rzędu \scriptstyle 4. W tym przypadku rzędy podgrup również są dzielnikami rzędu \scriptstyle |E| = 4 grupy \scriptstyle E.
Kryterium może okazać się fałszywe w przypadku, gdy badany podzbiór nie jest skończony: jeśli \scriptstyle P = \{z \in \mathbb Z\colon z > 0\} jest podzbiorem dodatnich liczb całkowitych (które można utożsamiać z liczbami naturalnymi \scriptstyle \mathbb N), to mimo iż \scriptstyle \mathbb Z jest grupą ze względu na dodawanie, a podzbiór \scriptstyle P jest zamknięty na to działanie, to nie tworzy on podgrupy, gdyż brak w tym zbiorze elementu neutralnego dodawania (\scriptstyle 0 \notin P); rozpatrywanie \scriptstyle N = \{z \in \mathbb Z\colon z \geqslant 0\} (podobnie jak poprzedni przykład) narusza warunek należenia odwrotności (tu: elementu przeciwnego). Grupa \scriptstyle \mathbb Z jest kanonicznym przykładem grupy nieskończonej (wszystkie nieskończone grupy generowane przez jeden element mają tę samą co ona strukturę grupy cyklicznej, zob. izomorfizm).
Uwagi
W ogólności suma mnogościowa \scriptstyle H_1 \cup H_2 podgrup \scriptstyle H_1, H_2 nie musi być podgrupą: jest tak wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle H_1 \cup H_2 = H_2 bądź \scriptstyle H_1 \cup H_2 = H_1, tzn. \scriptstyle H_1 \subseteq H_2 lub \scriptstyle H_1 \supseteq H_2, czy też \scriptstyle H_1 \cap H_2 = H_1 albo \scriptstyle H_1 \cap H_2 = H_2; wynika to z nieco ogólniejszej obserwacji: jeżeli \scriptstyle H jest podgrupą w \scriptstyle G zawartą w \scriptstyle H_1 \cup H_2, to \scriptstyle H zawiera się w całości w \scriptstyle H_1 lub \scriptstyle H_2 (być może w obu z nich)[10][11]. Oznacza to, że nie istnieje grupa, która byłaby sumą mnogościową dwóch swoich nietrywialnych podgrup właściwych; mimo to istnieje grupa, dla której suma jej trzech różnych nietrywialnych podgrup właściwych tworzy w niej podgrupę[12]. Twierdzenie Tomkinsona mówi, iż nie istnieje grupa, którą można zapisać w postaci sumy mnogościowej dokładnie siedmiu jej nietrywialnych podgrup właściwych, z kolei twierdzenie Skorzy stanowi o tym, że jeśli grupa jest sumą trzech nietrywialnych podgrup właściwych, to są one indeksu dwa, a części wspólne dowolnych dwóch z tych trzech podgrup są równe[13].
Podgrupę grupy \scriptstyle G generowaną przez jej podzbiór \scriptstyle X można scharakteryzować jako najmniejszą (w sensie zawierania) podgrupę zawierającą wszystkie elementy zbioru \scriptstyle X, tj. część wspólną wszystkich podgrup zawierających zbiór \scriptstyle X. Podgrupę generowaną przez jednoelementowy podzbiór \scriptstyle \{a\} grupy \scriptstyle G nazywa się podgrupą cykliczną generowaną przez \scriptstyle a, zaś sam element \scriptstyle a nazywa się generatorem tej podgrupy (może mieć ona wiele generatorów); rzędem elementu \scriptstyle a nazywa się rząd podgrupy (cyklicznej) generowanej przez ten element, czyli jej liczbę elementów.
Przypadki grup \scriptstyle U i \scriptstyle E opisane w wyżej („kryterium bycia grupą skończoną”) sugerują ogólną regułę, iż rząd podgrupy dzieli rząd grupy – w istocie jest ona prawdziwa: rozumowanie w przypadku skończonym wymaga jedynie znajomości pojęć grupy i funkcji (można go znaleźć w rząd: Własności); w przypadku ogólnym wynik ten, nazywany twierdzeniem Lagrange'a, wymaga znajomości pojęcia warstwy grupy względem jej podgrupy.
Rodzaje podgrup
Niech \scriptstyle G będzie dowolną grupą; zbiór \scriptstyle \mathrm C(x) = \{a \in G\colon ax = xa\} elementów grupy \scriptstyle G przemiennych z ustalonym jej elementem \scriptstyle x \in G tworzy podgrupę nazywaną centralizatorem elementu \scriptstyle x[14]; podobnie zbiór \scriptstyle \mathrm Z(G) = \{a \in G\colon ax = xa\ \mathrm{ dla }\ x \in G\} elementów grupy \scriptstyle G, które są przemienne z dowolnym jej elementem, tworzy podgrupę nazywaną centrum grupy \scriptstyle G[15].
Dla dwóch elementów \scriptstyle x, y dowolnej grupy \scriptstyle G element \scriptstyle [x, y] = xyx^{-1}y^{-1} nazywa się ich komutatorem; przy czym \scriptstyle [x, y] = e wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle x, y są przemienne, tzn. \scriptstyle xy = yx. Dla „wysoce nieprzemiennych” grup (tzw. grup doskonałych) może się zdarzyć, że żaden z komutatorów nie będzie elementem neutralnym, skąd podzbiór wszystkich komutatorów grupy nie musi tworzyć podgrupy; problem ten można obejść biorąc „najmniejszą” grupę zawierającą wszystkie komutatory, tj. podgrupę przez nie generowaną (zob. Przykłady): dla danych dwóch podzbiorów \scriptstyle X, Y grupy \scriptstyle G ich komutantem \scriptstyle [X, Y] nazywa się podgrupę w \scriptstyle G generowaną przez wszystkie komutatory \scriptstyle [x, y], gdzie \scriptstyle x \in X oraz \scriptstyle y \in Y. Podgrupę \scriptstyle [G, G] nazywa się komutantem lub pochodną grupy \scriptstyle G.
Centrum i komutant są przykładami tzw. podgrup normalnych, czyli takich podgrup \scriptstyle H pewnej grupy \scriptstyle G, które są przemienne z dowolnym elementem \scriptstyle a \in G, tzn. dla każdego \scriptstyle a \in G, zachodzi \scriptstyle aH = Ha[16][17]. Pojęcie podgrupy normalnej umożliwia wprowadzenie metody konstrukcji nowych grup z istniejących grup oraz ich podgrup (normalnych), mianowicie tzw. grup ilorazowych; procedura ta jest uogólnieniem uzyskiwania grup \scriptstyle \mathbb Z_n z mnożeniem modulo \scriptstyle n z grupy liczb całkowitych \scriptstyle \mathbb Z oraz jej podgrupy \scriptstyle n\mathbb Z (zob. wyżej).

Wśród wielu przykładów grup i ich podgrup można wymienić ponadto:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Żadne dwie podgrupy nie są rozłączne w sensie mnogościowym (jako podzbiory), jednak jako rozłączne w sensie algebraicznym można uważać podgrupy, których jedynym wspólnym elementem jest element neutralny; niekiedy mówi się o nich, że mają trywialne przecięcie – nazywa się je zwykle ortogonalnymi (por. ortogonalność).
  2. Wspomniane podstruktury są przypadkami szczególnymi ogólniejszych podstruktur tzw. modułów: podmodułu czystego oraz podmodułu istotnego (każda grupa przemienna jest modułem nad liczbami całkowitymi).
  3. Jeżeli \scriptstyle ab \in H dla dowolnych \scriptstyle a, b \in H oraz \scriptstyle a^{-1} \in H dla każdego \scriptstyle a \in H, to w istocie również \scriptstyle a^{-1}b \in H; jeżeli zaś \scriptstyle a^{-1}b \in H dla \scriptstyle a, b \in H, to z \scriptstyle a^{-1}b \in H otrzymuje się \scriptstyle a^{-1} \in H dla \scriptstyle b = e. (ze względu na \scriptstyle b^{-1}a = \left(a^{-1}b\right)^{-1} \in H, czyli \scriptstyle b^{-1}aa^{-1}b = b^{-1}b = e \in H), w ten sposób \scriptstyle aaa^{-1}b = ab \in H.
  4. Dowód można uzyskać rozumując analogicznie jak wyżej, bądź zastępując elementy \scriptstyle a, b ich odwrotnościami (zawsze istnieją w grupie \scriptstyle G).
  5. Wystarczy wykazać, że w przypadku, gdy \scriptstyle H jest skończony, warunek odwracalności wynika z warunku zamkniętości na działanie, dzięki czemu oba te warunki będą równoważne drugiemu z nich, co jest tezą stwierdzenia: w tym celu należy dowieść, iż \scriptstyle a^{-1} \in H pod warunkiem skończoności i zamkniętości \scriptstyle H na działanie. Niech \scriptstyle a \in H; skoro \scriptstyle H jest zamknięte na mnożenie, to należy do niego dowolne złożenie \scriptstyle a, tzn. \scriptstyle a^k \in H dla \scriptstyle k będącego liczbą naturalną. Ponieważ \scriptstyle H jest skończony, to elementy \scriptstyle a, a^2, a^3, \dots, a^k, \dots muszą się powtarzać, zatem \scriptstyle a^m = a^n dla pewnych liczb naturalnych \scriptstyle m \ne n (por. grupa cykliczna i rząd elementu oraz zob. Przykłady). Przyjmując bez straty ogólności, że \scriptstyle m > n otrzymuje się \scriptstyle a^{m - n - 1} a = a^{m - n} = a^m a^{-n} = a^m \left(a^n\right)^{-1} = a^m \left(a^m\right)^{-1} = e, co oznacza, że \scriptstyle a^{-1} = a^{m - n - 1} \in H; zatem \scriptstyle H jest zamknięty ze względu na branie odwrotności.
  6. Drugi warunek pociąga pierwszy, ponieważ dowolny podzbiór zbioru skończonego jest skończony.
  7. Innym jest \scriptstyle H \leqslant G z przekreślonym znakiem równości, którego względnie dobrymi zastępnikami są \scriptstyle H \lneq G lub \scriptstyle H \lneqq G.
  8. Niech \scriptstyle a, b, c będą liczbami całkowitymi: jeżeli \scriptstyle a \mid b oraz \scriptstyle a \mid c, to \scriptstyle a \mid b + c; jeśli \scriptstyle a \mid b, to \scriptstyle a \mid -b (dowody tych własności można znaleźć w artykule dzielnik). Stąd dla \scriptstyle x, y \in 4\mathbb Z zachodzą podzielności \scriptstyle 4 \mid x oraz \scriptstyle 4 \mid y, z których wynika \scriptstyle 4 \mid x + y, co oznacza \scriptstyle x, y \in 4\mathbb Z; podobnie jeśli \scriptstyle x \in 4\mathbb Z, to \scriptstyle 4 \mid x pociąga \scriptstyle 4 \mid -x, czyli \scriptstyle -x \in 4\mathbb Z.
  9. Aby uniknąć tego rodzaju pomyłek stosuje się czasem konwencję oznaczania grup addytywnych i multiplikatywnych w indeksie górnym odpowiednio za pomocą znaku dodawania i mnożenia, w tym przypadku \scriptstyle \mathbb Z_8 oraz \scriptstyle U oznaczane byłyby odpowiednio symbolami \scriptstyle \mathbb Z_8^+, \mathbb Z_8^\times.
  10. Dowód przez kontrapozycję: jeżeli \scriptstyle H nie zawiera się w \scriptstyle H_1 ani w \scriptstyle H_2, to można znaleźć element \scriptstyle h_1 należący do \scriptstyle H, lecz nie do \scriptstyle H_2 oraz element \scriptstyle h_2 należący do \scriptstyle H, lecz nie do \scriptstyle H_1; z założenia \scriptstyle h_1, h_2 \in H \subseteq H_1 \cup H_2, zatem \scriptstyle h_1 \in H_1 \cap H, ale \scriptstyle h_1 \notin H_2 oraz \scriptstyle h_2 \in H_2 \cap H, ale \scriptstyle h_2 \notin H_1; z założenia i faktu, iż \scriptstyle H jest podgrupą, wynikałoby wtedy \scriptstyle h_1 h_2 \in H, skąd \scriptstyle h_1 h_2 \in H_1, czyli \scriptstyle h_2 \in H_1 lub \scriptstyle h_1 h_2 \in H_2, czyli \scriptstyle h_1 \in H_2, a to dawałoby sprzeczność z założeniem. Stąd \scriptstyle H jest podgrupą w \scriptstyle H_1 bądź \scriptstyle H_2.
  11. Jeżeli \scriptstyle H_1 \cup H_2 jest podgrupą, to przyjmując \scriptstyle H = H_1 \cup H_2 otrzymuje się \scriptstyle H_1 \cup H_2 \subseteq H_1 lub \scriptstyle H_1 \cup H_2 \subseteq H_2. Z drugiej strony w każdym z przypadków, \scriptstyle H_1 \cup H_2 = H_2 lub \scriptstyle H_1 \cup H_2 = H_1, zbiór \scriptstyle H_1 \cup H_2 jest podgrupą.
  12. Przykładem może być tzw. grupa czwórkowa Kleina \scriptstyle \{e, a, b, ab\}, w której \scriptstyle \{e, a\},\ \{e, b\},\ \{e, ab\} są nietrywialnymi podgrupami właściwymi dającymi w sumie całą grupę.
  13. Ponadto wspomniana część wspólna jest podgrupą normalną (zob. Ważne podgrupy) w całej grupie, a jej grupa ilorazowa (zob. Ważne podgrupy) jest izomorficzna z grupą czwórkową Kleina.
  14. Na mocy kryterium bycia podgrupą: niech \scriptstyle a, b \in \mathrm C(x), tzn. zachodzą równości \scriptstyle ax = xa oraz \scriptstyle bx = xb, wtedy \scriptstyle abx = axb = xab, czyli \scriptstyle ab \in \mathrm C(x); do zbadania należenia do \scriptstyle C(x) elementu odwrotnego do \scriptstyle a \in C(x) wystarczy rozpatrzeć równość \scriptstyle xa = ax, z której wynika \scriptstyle x = axa^{-1}, a z niej \scriptstyle a^{-1}x = xa^{-1}.
  15. Korzystając z kryterium bycia podgrupą: niech \scriptstyle a, b \in \mathrm Z(G), wtedy dla dowolnych \scriptstyle x, y \in G zachodzą równości \scriptstyle ax = xa oraz \scriptstyle by = yb, skąd można w szczególności dla dowolnego \scriptstyle z \in G zapisać \scriptstyle abz = azb = zab, czyli \scriptstyle ab \in \mathrm Z(G); z kolei jeżeli \scriptstyle xa = ax, to \scriptstyle x = axa^{-1}, skąd \scriptstyle a^{-1}x = xa^{-1}, a więc \scriptstyle a^{-1} \in \mathrm Z(G).
  16. W odróżnieniu od centrum \scriptstyle \mathrm Z(G) grupy \scriptstyle G, w którym każdy element \scriptstyle z \in \mathrm Z(G) z osobna jest przemienny z dowolnym elementem grupy \scriptstyle a, tj. \scriptstyle az = za, przemienność \scriptstyle aH = Ha podgrupy normalnej \scriptstyle H z dowolnym elementem \scriptstyle a grupy \scriptstyle G oznacza tylko tyle, iż dla dowolnego elementu \scriptstyle h_1 \in H można znaleźć element \scriptstyle h_2 \in H, dla których zachodzi \scriptstyle ah_1 = h_2a.
  17. Wspomniane centrum i komutant są w istocie przykładami podgrup normalnych o jeszcze lepszych własnościach, tzw. podgrup charakterystycznych (charakterystyczność, w przeciwieństwie do normalności, jest własnością przechodnią).
  18. Bądź nieco ogólniej: wszystkich automorfizmów ustalonej skończeniewymiarowej przestrzeni liniowej (tj. odwracalnych przekształceń liniowych tej przestrzeni na siebie).