Podgrupa

Podgrupa – w teorii grup zbiór elementów danej grupy, który sam tworzy grupę z działaniem grupy wyjściowej; inaczej podzbiór grupy zamknięty na działanie grupowe i branie odwrotności, który zawiera jej element neutralny (zob. działanie wewnętrzne).

Podgrupy to te z podzbiorów grup, które odzwierciedlają i zachowują ich strukturę algebraiczną; badanie podgrup danej grupy (nazywanej czasem w tym kontekście nadgrupą) dostarcza o niej wielu istotnych informacji umożliwiając głębsze zrozumienie jej budowy. Niekiedy podgrupy wkomponowane są w grupę w szczególny sposób: są niezmiennikami przekształceń algebraicznych (podgrupa normalna, podgrupa charakterystyczna), umożliwiają jednoznaczne przedstawienie elementu grupy jako sumy/iloczynu elementów ich „rozłącznych” podgrup (składnik/czynnik prosty, zob. suma prosta/iloczyn prosty podgrup); w teorii grup przemiennych rozpatruje się podgrupy czyste oraz podgrupy istotne o nieco słabszych, lecz nadal przydatnych, własnościach (przy potencjalnie większej ich liczbie, co ułatwia wskazanie podgrup o lepszych własnościach).

Charakteryzacja

Niech $\scriptstyle G$ będzie grupą; podzbiór $\scriptstyle H \subseteq G,$ który tworzy grupę ze względu na działanie określone na $\scriptstyle G$ nazywa się podgrupą grupy $\scriptstyle G$ i oznacza zwykle $\scriptstyle H \leqslant G.$ Dokładniej, podgrupę $\scriptstyle H$ charakteryzują następujące warunki:

• Wewnętrzność: działanie grupowe na $\scriptstyle H$ jest zawężeniem działania grupy $\scriptstyle G$ do zbioru $\scriptstyle H;$ dlatego iloczyn elementów $\scriptstyle a, b \in H$ obliczany jest jako iloczyn elementów $\scriptstyle a$ oraz $\scriptstyle b$ w grupie $\scriptstyle G;$ aby uzyskać dwuargumentowe działanie wewnętrzne na $\scriptstyle H$ dane wzorem $\scriptstyle (a, b) \mapsto ab$ tak jak w grupie $\scriptstyle G$ potrzeba, a zarazem wystarcza, by $\scriptstyle ab \in H$ dla wszystkich $\scriptstyle a, b \in H.$ Innymi słowy zbiór $\scriptstyle H$ musi być zamknięty ze względu na działanie w $\scriptstyle G.$
• Łączność: działanie w $\scriptstyle H$ musi być łączne, czyli dla wszystkich $\scriptstyle a, b, c \in H$ musi zachodzić $\scriptstyle (ab)c = a(bc);$ wiadomo jednak, że $\scriptstyle (ab)c = a(bc)$ dla $\scriptstyle a, b, c \in G,$ a ponieważ $\scriptstyle H \subseteq G,$ to powyższy warunek odnosi się w szczególności do elementów $\scriptstyle a, b, c \in H;$ w ten sposób łączność działania w $\scriptstyle H$ dana jest automatycznie (tzn. wynika wprost z łączności działania w $\scriptstyle G$).
• Element neutralny: zbiór $\scriptstyle H$ nie może być pusty, gdyż jako grupa $\scriptstyle H$ musi mieć element neutralny; niech $\scriptstyle e \in H$ spełnia $\scriptstyle ae = a$ dla dowolnego $\scriptstyle a \in H;$ w szczególności dla elementu neutralnego $\scriptstyle e$ grupy $\scriptstyle H$ zachodzi $\scriptstyle ee = e,$ a ponieważ $\scriptstyle e \in H \subseteq G,$ to z charakteryzacji elementu neutralnego grupy wynika, że $\scriptstyle e$ jest elementem neutralnym grupy $\scriptstyle G;$ oznacza to, że element neutralny grupy $\scriptstyle G$ jest zarazem elementem neutralnym w $\scriptstyle H,$ o ile tylko należy on do $\scriptstyle H,$ tzn. nie trzeba szukać elementu neutralnego w $\scriptstyle H,$ gdyż jest on niejako z góry – wystarczy tylko sprawdzić, czy element neutralny w $\scriptstyle G$ należy do $\scriptstyle H.$
• Odwracalność: dla każdego $\scriptstyle a \in H$ musi istnieć $\scriptstyle x \in H,$ dla których $\scriptstyle ax = e;$ odczytanie tego równania w grupie $\scriptstyle G$ daje natychmiastowo rozwiązanie $\scriptstyle x = a^{-1}$ w postaci elementu odwrotnego do $\scriptstyle a$ w grupie $\scriptstyle G;$ element odwrotny do $\scriptstyle a$ istnieje w $\scriptstyle G,$ dlatego nie trzeba go szukać, lecz wystarczy sobie jedynie zapewnić, iż element odwrotny $\scriptstyle a^{-1}$ do $\scriptstyle a$ należący do $\scriptstyle G$ jest również elementem $\scriptstyle H.$

Podsumowując: niepusty podzbiór $\scriptstyle H$ grupy $\scriptstyle G$ jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy

• jest zamknięty na działanie: $\scriptstyle ab \in H$ dla wszystkich $\scriptstyle a, b \in H;$
• zawiera element neutralny: $\scriptstyle e \in H;$
• jest zamknięty na odwracanie: $\scriptstyle a^{-1} \in H$ dla każdego $\scriptstyle a \in H.$

Co więcej, drugi warunek wynika z pierwszego i trzeciego: niech $\scriptstyle a \in H$ (gdyż $\scriptstyle H$ jest niepusty, $\scriptstyle H \ne \varnothing$), wtedy z trzeciego warunku $\scriptstyle a^{-1} \in H,$ a więc $\scriptstyle aa^{-1} \in H$ na mocy pierwszego, co daje $\scriptstyle e \in H.$ Innymi słowy sprawdzenie, czy $\scriptstyle e \in H$ można pominąć zakładając, iż $\scriptstyle H$ jest niepusty; z drugiej strony jeśli nie wiadomo a priori, czy $\scriptstyle H \ne \varnothing,$ to najszybszym sposobem zapewnienia tego warunku jest właśnie sprawdzenie, czy $\scriptstyle e \in H.$ Na podstawie powyższych obserwacji można zatem sformułować

Kryterium bycia podgrupą

Niepusty podzbiór $\scriptstyle H$ grupy $\scriptstyle G$ jest jej podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunki

$ab \in H \;\;\qquad\mbox{ dla wszystkich } a, b \in H;$

oraz

$a^{-1} \in H \qquad\mbox{ dla każdego } a \in H.$

Powyższe dwa warunki (wraz z $\scriptstyle H \ne \varnothing$) często łączy się w jeden: $\scriptstyle a^{-1}b \in H$ dla wszystkich $\scriptstyle a, b \in H$; jest on zupełnie równoważny warunkowi $\scriptstyle ab^{-1} \in H$ dla wszystkich $\scriptstyle a, b \in H$. W przypadku skończonym wystarczający jest warunek zamkniętości działania, tzn. prawdziwe jest następujące

Kryterium bycia podgrupą skończoną

Niepusty podzbiór skończony $\scriptstyle H$ grupy $\scriptstyle G$ bądź niepusty podzbiór $\scriptstyle H$ grupy skończonej $\scriptstyle G$ jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy $\scriptstyle ab \in H$ dla wszystkich $\scriptstyle a, b \in H$.

Przykłady

Podgrupy trywialna i niewłaściwa

W dowolnej grupie $\scriptstyle G$ zbiór jednoelementowy $\scriptstyle \{e\}$ oraz zbiór $\scriptstyle G$ są podgrupami nazywanymi odpowiednio podgrupą trywialną oraz podgrupą niewłaściwą (podgrupy, które nie są trywialne bądź niewłaściwe nazywa się odpowiednio nietrywialnymi oraz właściwymi); jeżeli $\scriptstyle H$ jest podgrupą właściwą w $\scriptstyle G,$ to czasem używa się oznaczenia $\scriptstyle H < G$, nietrywialność podgrupy zaznaczana jest osobno. Jeżeli $\scriptstyle H$ jest podgrupą w $\scriptstyle G,$ zaś $\scriptstyle K$ jest podgrupą w $\scriptstyle H,$ to $\scriptstyle K$ jest podgrupą w $\scriptstyle G.$

Kryterium bycia podgrupą

Niech $\scriptstyle 4\mathbb Z = \{4z \in \mathbb Z\colon z \in \mathbb Z\} = \{u \in \mathbb Z\colon 4 \mid u\}$ będzie podzbiorem liczb całkowitych $\scriptstyle \mathbb Z$ podzielnych przez $\scriptstyle 4.$ Zbiór $\scriptstyle \mathbb Z$ tworzy grupę ze względu na dodawanie (wprost z konstrukcji), zaś zbiór $\scriptstyle 4\mathbb Z$ jest zamknięty ze względu na dodawanie i branie odwrotności, a więc $\scriptstyle 4\mathbb Z$ jest podgrupą w $\scriptstyle \mathbb Z.$ Analogicznie dowodzi się, że zbiór $\scriptstyle n\mathbb Z = \{nz \in \mathbb Z\colon z \in \mathbb Z\}$ dla dowolnego $\scriptstyle n$ będącego liczbą naturalną jest podgrupą w $\scriptstyle \mathbb Z,$ a ponadto wszystkie jej podgrupy mają tę postać.

Zbiór dodatnich liczb wymiernych tworzy podgrupę $\scriptstyle \mathbb Q^\times_+$ w grupie $\scriptstyle \mathbb Q^\times$ niezerowych liczb wymiernych z działaniem mnożenia (iloczyn dowolnych dwóch niezerowych liczb wymiernych dalej jest niezerową liczbą wymierną i podobnie odwrotność niezerowej liczby wymiernej jest niezerową liczbą wymierną), co wynika wprost z własności iloczynu i odwrotności liczb wymiernych: jeśli $\scriptstyle a, b > 0,$ to $\scriptstyle ab > 0$ oraz $\scriptstyle \frac1a > 0;$ podobne obserwacje dotyczą liczb rzeczywistych $\scriptstyle \mathbb R$ (należy wyżej zastąpić $\scriptstyle \mathbb Q$ znakiem $\scriptstyle \mathbb R$ i wyraz „wymierny” za pomocą „rzeczywisty”).

Jeżeli $\scriptstyle H_1, H_2$ są podgrupami w $\scriptstyle G,$ to ich część wspólna $\scriptstyle H_1 \cap H_2$ również jest podgrupą w $\scriptstyle G.$ Istotnie, $\scriptstyle H_1 \cap H_2 \ne \varnothing,$ gdyż $\scriptstyle e \in H_1$ oraz $\scriptstyle e \in H_2;$ ponadto jeżeli $\scriptstyle a, b \in H_1 \cap H_2,$ to $\scriptstyle a, b \in H_1$ i $\scriptstyle a, b \in H_2,$ skąd $\scriptstyle ab \in H_1$ i $\scriptstyle ab \in H_2,$ a więc $\scriptstyle ab \in H_1 \cap H_2;$ dodatkowo z $\scriptstyle a \in H_1 \cap H_2$ wynika $\scriptstyle a \in H_1$ i $\scriptstyle a \in H_2,$ a więc $\scriptstyle a^{-1} \in H_1$ i $\scriptstyle a^{-1} \in H_2,$ co pociąga $\scriptstyle a^{-1} \in H_1 \cap H_2;$ stąd $\scriptstyle H_1 \cap H_2$ jest podgrupą w $\scriptstyle G.$ Analogicznie dowodzi się, że część wspólna $\scriptstyle \bigcap_{i \in I} H_i$ rodziny $\scriptstyle \{H_i\}_{i \in I}$ podgrup grupy $\scriptstyle G$ indeksowanej za pomocą pewnego zbioru indeksów $\scriptstyle I$ również jest podgrupą w $\scriptstyle G.$

Niech $\scriptstyle S$ oznacza zbiór wszystkich wzajemnie jednoznacznych odwzorowań przedziału jednostkowego $\scriptstyle [0, 1]$ liczb rzeczywistych; tworzy on grupę ze względu na składanie odwzorowań (zob. grupa: Przykłady). Zbiór $\scriptstyle T = \displaystyle\{\scriptstyle f \in S\colon f(0) = 0\displaystyle\}$ jest podgrupą w $\scriptstyle S$ jako jej niepusty podzbiór zamknięty na składanie i odwracanie funkcji:

• Otóż zbiór $\scriptstyle T$ jest niepusty, gdyż należy do niego odwzorowanie tożsamościowe $\scriptstyle i \in S$ dane wzorem $\scriptstyle i(x) = x,$ dla którego zachodzi $\scriptstyle i(0) = 0.$
• Ponadto jeżeli $\scriptstyle f, g \in T,$ to $\scriptstyle f(0) = 0$ oraz $\scriptstyle g(0) = 0,$ co oznacza $\scriptstyle (f \circ g)(0) = f\displaystyle(\scriptstyle g(0)\displaystyle)\scriptstyle = f(0) = 0,$ a więc $\scriptstyle f \circ g \in T.$
• Wreszcie jeśli $\scriptstyle f \in T,$ to $\scriptstyle f(0) = 0,$ a zatem $\scriptstyle f^{-1}\displaystyle(\scriptstyle f(0)\displaystyle)\scriptstyle = f^{-1}(0),$ stąd $\scriptstyle \left(f^{-1} \circ f\right)(0) = i(0) = f^{-1}(0),$ tzn. $\scriptstyle 0 = f^{-1}(0),$ czyli $\scriptstyle f^{-1} \in T.$

Kryterium bycia podgrupą skończoną

Niech dany będzie podzbiór $\scriptstyle U = \left\{\overline 1, \overline 3, \overline 5, \overline 7\right\}$ grupy $\scriptstyle \mathbb Z_8$ wraz z mnożeniem modulo $\scriptstyle 8,$ przy czym $\scriptstyle \overline x$ oznacza redukcję liczby całkowitej $\scriptstyle x$ modulo $\scriptstyle 8$ (tzn. resztę z dzielenia $\scriptstyle x$ przez $\scriptstyle 8$). Ponieważ

$\begin{matrix} \overline 1\ \overline 1 = \overline 1,\quad & \overline 1\ \overline 3 = \overline 3,\quad & \overline 1\ \overline 5 = \overline 1,\quad & \overline 5\ \overline 7 = \overline 7, \\ \overline 3\ \overline 1 = \overline 3,\quad & \overline 3\ \overline 3 = \overline 1,\quad & \overline 3\ \overline 5 = \overline 7,\quad & \overline 3\ \overline 7 = \overline 5, \\ \overline 5\ \overline 1 = \overline 5,\quad & \overline 5\ \overline 3 = \overline 7,\quad & \overline 5\ \overline 5 = \overline 1,\quad & \overline 5\ \overline 7 = \overline 3, \\ \overline 7\ \overline 1 = \overline 7,\quad & \overline 7\ \overline 3 = \overline 5,\quad & \overline 7\ \overline 5 = \overline 3,\quad & \overline 7\ \overline 7 = \overline 1, \end{matrix}$

to zbiór $\scriptstyle U$ jest zamknięty ze względu na mnożenie. Skoro $\scriptstyle \mathbb Z_8$ jest zbiorem skończonym, to na podstawie kryterium bycia podgrupą skończoną zbiór $\scriptstyle U$ powinien być podgrupą w $\scriptstyle \mathbb Z_8.$ Byłaby to prawda, gdyby $\scriptstyle \mathbb Z_8$ była grupą ze względu na mnożenie (nie jest nią, gdyż nie istnieje np. odwrotność elementu $\scriptstyle \overline 0$); jest ona jednak grupą ze względu na dodawanie, co (jak się okazuje) jest zupełnie czymś innym – aby poprawnie zastosować wspomniane kryterium, należy się więc najpierw upewnić, że nadzbiór tworzy grupę.

Mimo to $\scriptstyle U$ jest grupą ze względu na mnożenie: z powyższych rozważań wynika, że zbiór ten jest zamknięty na mnożenie, które jest łączne (jest ono w istocie łączne na $\scriptstyle \mathbb Z_8,$ co wynika z własności arytmetyki modularnej); ponadto $\scriptstyle \overline 1 \in U$ oraz $\scriptstyle \overline a\ \overline 1 = \overline a$ dla wszystkich $\scriptstyle \overline a \in U$ (z powyższych rozważań lub własności arytmetyki modularnej), skąd $\scriptstyle \overline 1$ jest elementem neutralnym w $\scriptstyle U;$ każdy element $\scriptstyle U$ ma odwrotność należącą do $\scriptstyle U$ – wynika to z równań $\scriptstyle \overline 1\ \overline 1 = \overline 1,$ $\scriptstyle \overline 3\ \overline 3 = \overline 1,$ $\scriptstyle \overline 5\ \overline 5 = \overline 1,$ $\scriptstyle \overline 7\ \overline 7 = \overline 1,$ oraz $\scriptstyle \overline 1, \overline 3, \overline 5, \overline 7 \in U.$ Korzystając z kryterium bycia podgrupą skończoną można się przekonać, iż podzbiory $\scriptstyle \left\{\overline 1, \overline 3\right\},$ $\scriptstyle \left\{\overline 1, \overline 5\right\},$ $\scriptstyle \left\{\overline 1, \overline 7\right\}$ są nietrywialnymi podgrupami właściwymi w $\scriptstyle U,$ gdyż są one zamknięte ze względu na mnożenie (są to jedyne tego rodzaju podgrupy w tej grupie). Podgrupy w $\scriptstyle U$ mają rzędy $\scriptstyle 1, 2, 4,$ które są dzielnikami rzędu $\scriptstyle |U| = 4$ grupy $\scriptstyle U.$

Podzbiór $\scriptstyle E = \{1, -1, i, -i\}$ tworzy podgrupę grupy $\scriptstyle \mathbb C^\times$ niezerowych liczb zespolonych względem mnożenia na podstawie kryterium bycia podgrupą skończoną, gdyż jest zamknięta na branie iloczynów. To samo kryterium mówi, że $\scriptstyle \{1, -1\}$ jest podgrupą w $\scriptstyle E.$ Ponadto grupa ta nie ma innych nietrywialnych podgrup właściwych, gdyż jeśli podgrupa ta zawierałaby $\scriptstyle i$ lub $\scriptstyle -i,$ to musiałaby także zawierać $\scriptstyle i^2, i^3, i^4$ lub $\scriptstyle (-i)^2, (-i)^3, (-i)^4,$ czyli tworzyłaby wtedy całą grupę $\scriptstyle E.$ Dlatego $\scriptstyle E$ ma dokładnie trzy podgrupy: jedną rzędu $\scriptstyle 1,$ jedną rzędu $\scriptstyle 2$ i jedną rzędu $\scriptstyle 4.$ W tym przypadku rzędy podgrup również są dzielnikami rzędu $\scriptstyle |E| = 4$ grupy $\scriptstyle E.$

Kryterium może okazać się fałszywe w przypadku, gdy badany podzbiór nie jest skończony: jeśli $\scriptstyle P = \{z \in \mathbb Z\colon z > 0\}$ jest podzbiorem dodatnich liczb całkowitych (które można utożsamiać z liczbami naturalnymi $\scriptstyle \mathbb N$), to mimo iż $\scriptstyle \mathbb Z$ jest grupą ze względu na dodawanie, a podzbiór $\scriptstyle P$ jest zamknięty na to działanie, to nie tworzy on podgrupy, gdyż brak w tym zbiorze elementu neutralnego dodawania ($\scriptstyle 0 \notin P$); rozpatrywanie $\scriptstyle N = \{z \in \mathbb Z\colon z \geqslant 0\}$ (podobnie jak poprzedni przykład) narusza warunek należenia odwrotności (tu: elementu przeciwnego). Grupa $\scriptstyle \mathbb Z$ jest kanonicznym przykładem grupy nieskończonej (wszystkie nieskończone grupy generowane przez jeden element mają tę samą co ona strukturę grupy cyklicznej, zob. izomorfizm).

Uwagi

W ogólności suma mnogościowa $\scriptstyle H_1 \cup H_2$ podgrup $\scriptstyle H_1, H_2$ nie musi być podgrupą: jest tak wtedy i tylko wtedy, gdy $\scriptstyle H_1 \cup H_2 = H_2$ bądź $\scriptstyle H_1 \cup H_2 = H_1,$ tzn. $\scriptstyle H_1 \subseteq H_2$ lub $\scriptstyle H_1 \supseteq H_2,$ czy też $\scriptstyle H_1 \cap H_2 = H_1$ albo $\scriptstyle H_1 \cap H_2 = H_2;$ wynika to z nieco ogólniejszej obserwacji: jeżeli $\scriptstyle H$ jest podgrupą w $\scriptstyle G$ zawartą w $\scriptstyle H_1 \cup H_2,$ to $\scriptstyle H$ zawiera się w całości w $\scriptstyle H_1$ lub $\scriptstyle H_2$ (być może w obu z nich). Oznacza to, że nie istnieje grupa, która byłaby sumą mnogościową dwóch swoich nietrywialnych podgrup właściwych; mimo to istnieje grupa, dla której suma jej trzech różnych nietrywialnych podgrup właściwych tworzy w niej podgrupę. Twierdzenie Tomkinsona mówi, iż nie istnieje grupa, którą można zapisać w postaci sumy mnogościowej dokładnie siedmiu jej nietrywialnych podgrup właściwych, z kolei twierdzenie Skorzy stanowi o tym, że jeśli grupa jest sumą trzech nietrywialnych podgrup właściwych, to są one indeksu dwa, a części wspólne dowolnych dwóch z tych trzech podgrup są równe.

Podgrupę grupy $\scriptstyle G$ generowaną przez jej podzbiór $\scriptstyle X$ można scharakteryzować jako najmniejszą (w sensie zawierania) podgrupę zawierającą wszystkie elementy zbioru $\scriptstyle X,$ tj. część wspólną wszystkich podgrup zawierających zbiór $\scriptstyle X.$ Podgrupę generowaną przez jednoelementowy podzbiór $\scriptstyle \{a\}$ grupy $\scriptstyle G$ nazywa się podgrupą cykliczną generowaną przez $\scriptstyle a,$ zaś sam element $\scriptstyle a$ nazywa się generatorem tej podgrupy (może mieć ona wiele generatorów); rzędem elementu $\scriptstyle a$ nazywa się rząd podgrupy (cyklicznej) generowanej przez ten element, czyli jej liczbę elementów.

Przypadki grup $\scriptstyle U$ i $\scriptstyle E$ opisane w wyżej („kryterium bycia grupą skończoną”) sugerują ogólną regułę, iż rząd podgrupy dzieli rząd grupy – w istocie jest ona prawdziwa: rozumowanie w przypadku skończonym wymaga jedynie znajomości pojęć grupy i funkcji (można go znaleźć w rząd: Własności); w przypadku ogólnym wynik ten, nazywany twierdzeniem Lagrange'a, wymaga znajomości pojęcia warstwy grupy względem jej podgrupy.

Rodzaje podgrup

Niech $\scriptstyle G$ będzie dowolną grupą; zbiór $\scriptstyle \mathrm C(x) = \{a \in G\colon ax = xa\}$ elementów grupy $\scriptstyle G$ przemiennych z ustalonym jej elementem $\scriptstyle x \in G$ tworzy podgrupę nazywaną centralizatorem elementu $\scriptstyle x$; podobnie zbiór $\scriptstyle \mathrm Z(G) = \{a \in G\colon ax = xa\ \mathrm{ dla }\ x \in G\}$ elementów grupy $\scriptstyle G,$ które są przemienne z dowolnym jej elementem, tworzy podgrupę nazywaną centrum grupy $\scriptstyle G$.

Dla dwóch elementów $\scriptstyle x, y$ dowolnej grupy $\scriptstyle G$ element $\scriptstyle [x, y] = xyx^{-1}y^{-1}$ nazywa się ich komutatorem; przy czym $\scriptstyle [x, y] = e$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\scriptstyle x, y$ są przemienne, tzn. $\scriptstyle xy = yx.$ Dla „wysoce nieprzemiennych” grup (tzw. grup doskonałych) może się zdarzyć, że żaden z komutatorów nie będzie elementem neutralnym, skąd podzbiór wszystkich komutatorów grupy nie musi tworzyć podgrupy; problem ten można obejść biorąc „najmniejszą” grupę zawierającą wszystkie komutatory, tj. podgrupę przez nie generowaną (zob. Przykłady): dla danych dwóch podzbiorów $\scriptstyle X, Y$ grupy $\scriptstyle G$ ich komutantem $\scriptstyle [X, Y]$ nazywa się podgrupę w $\scriptstyle G$ generowaną przez wszystkie komutatory $\scriptstyle [x, y],$ gdzie $\scriptstyle x \in X$ oraz $\scriptstyle y \in Y.$ Podgrupę $\scriptstyle [G, G]$ nazywa się komutantem lub pochodną grupy $\scriptstyle G.$

Centrum i komutant są przykładami tzw. podgrup normalnych, czyli takich podgrup $\scriptstyle H$ pewnej grupy $\scriptstyle G,$ które są przemienne z dowolnym elementem $\scriptstyle a \in G,$ tzn. dla każdego $\scriptstyle a \in G,$ zachodzi $\scriptstyle aH = Ha$. Pojęcie podgrupy normalnej umożliwia wprowadzenie metody konstrukcji nowych grup z istniejących grup oraz ich podgrup (normalnych), mianowicie tzw. grup ilorazowych; procedura ta jest uogólnieniem uzyskiwania grup $\scriptstyle \mathbb Z_n$ z mnożeniem modulo $\scriptstyle n$ z grupy liczb całkowitych $\scriptstyle \mathbb Z$ oraz jej podgrupy $\scriptstyle n\mathbb Z$ (zob. wyżej).

Wśród wielu przykładów grup i ich podgrup można wymienić ponadto:

• grupę wszystkich izometrii danej przestrzeni euklidesowej (z działaniem składania przekształceń) nazywaną grupą euklidesową wraz z jej podgrupami: przesunięć, odbić, czy obrotów;
• grupę wszystkich odwracalnych macierzy kwadratowych ustalonego stopnia nad danym ciałem nazywaną pełną grupą liniową z podgrupami: diagonalną, skalarną oraz specjalną grupą liniową; wśród pozostałych można wymienić podgrupy: ortogonalną, unitarną i symplektyczną;
• grupę wszystkich permutacji zbioru skończonego z działaniem ich składania nazywaną grupą symetryczną (bądź grupą permutacji) wraz z grupą alternującą tego zbioru jako jej podgrupą; twierdzenie Cayleya mówi o tym, iż każda grupa może być postrzegana jako podgrupa grupy symetrycznej: dzięki temu twierdzenia obowiązujące dla grup symetrycznych są prawdziwe również dla wszystkich grup abstrakcyjnych.

Zobacz też

• p-podgrupa (Sylowa), podgrupa torsyjna
• podgrupa Cartana, podgrupa Fittinga, podgrupa z operatorami (podgrupa stabilna)