Porównanie topologii

Porównanie topologii – w topologii, badanie relacji między dwiema topologiami w danym zbiorze. Jeżeli X jest zbiorem, to rodzina $\mathfrak{T}$ wszystkich topologii jest częściowo uporządkowana przez relację zawierania. Dwie topologie $\tau_1, \tau_2\in \mathfrak{T}$ są więc

• nieporównywalne, gdy istnieją takie zbiory $F_1\in \tau_1$ i $F_2\in \tau_2$, że $F_1\notin \tau_2$ i $F_2\notin \tau_1$
• porównywalne, gdy $\tau_1\subseteq \tau_2$ lub $\tau_2\subseteq \tau_1$.

W szczególności, jeżeli topologie $\tau_1$ i $\tau_2$ sa porównywalne, to mówi się, że $\tau_2$ jest silniejsza, bogatsza bądź większa od $\tau_1$, a $\tau_1$ jest słabsza, uboższa bądź mniejsza od $\tau_2$, gdy

$\tau_1\subseteq \tau_2$.

Własności

Jeżeli $\tau_1$ i $\tau_2$, to następujące warunki są parami równoważne:

• $\tau_1\subseteq \tau_2$, tzn. każdy zbiór otwarty w sensie topologii $\tau_1$ jest również otwarty w sensie topologii $\tau_2$.
• Każdy zbiór domknięty w sensie topologii $\tau_1$ jest również domknięty w sensie topologii $\tau_2$.
• Domknięcie każdego podzbioru przestrzeni X w sensie topologii $\tau_1$ jest zawarte w domknięciu w sensie topologii $\tau_2$.
• Przekształcenie tożsamościowe $\operatorname{id}_X\colon (X, \tau_2) \to (X, \tau_1)$ jest ciągłe.
• Przekształcenie tożsamościowe $\operatorname{id}_X\colon (X, \tau_1) \to (X, \tau_2)$ jest otwarte.

W szczególności, jeżeli $\sigma_1, \sigma_2$ są topologiami w zbiorze Y oraz funkcja $f\colon (X, \tau_1)\to (Y,\sigma_2)$ jest ciągła, to jest również ciągła jako funkcja

• $f\colon (X, \tau_1)\to (Y,\sigma_1)$, gdy $\sigma_1\subseteq \sigma_2$,
• $f\colon (X, \tau_2)\to (Y,\sigma_2)$, gdy $\tau_1\subseteq \tau_2$.

Rodzina $\mathfrak{T}$ wszystkich topologii w zbiorze X uporządkowana przez relację zawierania ma element najmniejszy (jest nim topologia antydyskretna) i największy (topologia dyskretna).

Przykład

Jeżeli X jest przestrzenią unormowaną, to w jej przestrzeni sprzężonej można wprowadzić co najmniej trzy różne topologie:

• $\tau^*$, tzw. mocną topologię, czyli topologię wyznaczoną przez normę w $X^*$,
• $(\tau^*)^w$, słabą topologię w $X^*$,
• $\tau^{w^*}$, topologię *-słabą.

Zachodzi między nimi następujący związek:

$\tau^{w^*}\subseteq (\tau^*)^w \subseteq \tau^*$.

Ogólniej, jeżeli $(X,Y)$ jest parą dualną, to każda topologia liniowa w Y zgodna z dualnością jest mocniejsza od słabej topologii (w sensie dualności $(X,Y)$).

Krata topologii

Rodzina $\mathfrak T$ wszystkich topologii w zbiorze $X$ tworzy kratę zupełną z działaniami

• $\tau_1 \wedge \tau_2 = \tau_1 \cap \tau_2,$
• $\tau_1 \vee \tau_2 = \bigcap\{\tau \in \mathfrak T\colon \tau_1 \cup \tau_2 \subseteq \tau\}$

dla $\tau_1, \tau_2 \in \mathfrak T.$

Krata ta na ogół nie jest komplementarna.

Bibliografia

1. Nicolas Bourbaki: General Topology. T. 1. Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag, 1990, s. 28-30. ISBN 3-540-64241-2.
2. Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009. ISBN 978-83-01-15802-6.