Porównanie topologii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Porównanie topologii – w topologii, badanie relacji między dwiema topologiami w danym zbiorze. Jeżeli X jest zbiorem, to rodzina \mathfrak{T} wszystkich topologii jest częściowo uporządkowana przez relację zawierania. Dwie topologie \tau_1, \tau_2\in \mathfrak{T} są więc

  • nieporównywalne, gdy istnieją takie zbiory F_1\in \tau_1 i F_2\in \tau_2, że F_1\notin \tau_2 i F_2\notin \tau_1
  • porównywalne, gdy \tau_1\subseteq \tau_2 lub \tau_2\subseteq \tau_1.

W szczególności, jeżeli topologie \tau_1 i \tau_2 sa porównywalne, to mówi się, że \tau_2 jest silniejsza, bogatsza bądź większa od \tau_1, a \tau_1 jest słabsza, uboższa bądź mniejsza od \tau_2, gdy

\tau_1\subseteq \tau_2.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli \tau_1 i \tau_2, to następujące warunki są parami równoważne:

  • \tau_1\subseteq \tau_2, tzn. każdy zbiór otwarty w sensie topologii \tau_1 jest również otwarty w sensie topologii \tau_2.
  • Każdy zbiór domknięty w sensie topologii \tau_1 jest również domknięty w sensie topologii \tau_2.
  • Domknięcie każdego podzbioru przestrzeni X w sensie topologii \tau_1 jest zawarte w domknięciu w sensie topologii \tau_2.
  • Przekształcenie tożsamościowe \operatorname{id}_X\colon (X, \tau_2) \to (X, \tau_1) jest ciągłe.
  • Przekształcenie tożsamościowe \operatorname{id}_X\colon (X, \tau_1) \to (X, \tau_2) jest otwarte.

W szczególności, jeżeli \sigma_1, \sigma_2 są topologiami w zbiorze Y oraz funkcja f\colon (X, \tau_1)\to (Y,\sigma_2) jest ciągła, to jest również ciągła jako funkcja

  • f\colon (X, \tau_1)\to (Y,\sigma_1), gdy \sigma_1\subseteq \sigma_2,
  • f\colon (X, \tau_2)\to (Y,\sigma_2), gdy \tau_1\subseteq \tau_2.

Rodzina \mathfrak{T} wszystkich topologii w zbiorze X uporządkowana przez relację zawierania ma element najmniejszy (jest nim topologia antydyskretna) i największy (topologia dyskretna).

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli X jest przestrzenią unormowaną, to w jej przestrzeni sprzężonej można wprowadzić co najmniej trzy różne topologie:

Zachodzi między nimi następujący związek:

\tau^{w^*}\subseteq (\tau^*)^w \subseteq \tau^*.

Ogólniej, jeżeli (X,Y) jest parą dualną, to każda topologia liniowa w Y zgodna z dualnością jest mocniejsza od słabej topologii (w sensie dualności (X,Y)).

Krata topologii[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: topologie komplementarne.

Rodzina \mathfrak T wszystkich topologii w zbiorze X tworzy kratę zupełną z działaniami

  • \tau_1 \wedge \tau_2 = \tau_1 \cap \tau_2,
  • \tau_1 \vee \tau_2 = \bigcap\{\tau \in \mathfrak T\colon \tau_1 \cup \tau_2 \subseteq \tau\}

dla \tau_1, \tau_2 \in \mathfrak T.

Krata ta na ogół nie jest komplementarna.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Nicolas Bourbaki: General Topology. T. 1. Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag, 1990, s. 28-30. ISBN 3-540-64241-2.
  2. Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009. ISBN 978-83-01-15802-6.