Przestrzeń antydyskretna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń antydyskretna – w topologii niepusta przestrzeń topologiczna wyposażona w topologię nazywaną antydyskretną bądź trywialną, tzn. zawierającą wyłącznie dwa podzbiory: zbiór pusty i całą przestrzeń; w ten sposób topologia trywialna zawiera najmniejszą możliwą liczbę zbiorów otwartych wymaganą przez definicję przestrzeni topologicznej: za jej przeciwieństwo można uważać przestrzeń dyskretną, w której dowolny zbiór jest otwarty.

Przestrzeń antydyskretną można sobie wyobrażać, jako przestrzeń w której wszystkie punkty zostały ze sobą „zlepione”, przez co niemożliwe jest ich wyróżnienie za pomocą środków topologicznych; jest to przestrzeń pseudometryczna, w której odległość między dowolnymi dwoma punktami jest zerowa.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń antydyskretna:

Każde przekształcenie dowolnej przestrzeni topologicznej w przestrzeń antydyskretną jest ciągłe. Wszystkie podprzestrzenie oraz przestrzenie ilorazowe przestrzeni antydyskretnej mają topologię antydyskretną. Dowolny iloczyn kartezjański przestrzeni antydyskretnych, wyposażony tak w topologię produktową jak i przedziałową, jest przestrzenią antydyskretną.

Wnętrze dowolnego zbioru poza całą przestrzenią jest puste, domknięciem dowolnego niepustego zbioru przestrzeni jest cała przestrzeń; innymi słowy dowolny niepusty podzbiór przestrzeni jest gęsty – jest to własność charakteryzująca przestrzenie antydyskretne.

Dwie przestrzenie antydyskretne są homeomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy są równoliczne.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]