Funkcja tożsamościowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja tożsamościowa a. identycznościowa – w matematyce funkcja danego zbioru w siebie, która każdemu argumentowi przypisuje jego samego; intuicyjnie funkcja, która „nic nie zmienia”.

Z powodu wielości dyscyplin matematycznych, w których (z powodów historycznych) używana jest niekiedy inna terminologia, wyraz funkcja bywa zastępowany innymi, do najczęstszych należą: odwzorowanie, przekształcenie. Często nazwę tego przekształcenia skraca się po prostu do: tożsamość lub identyczność. Spotyka się też inne nazwy, które zawężają dziedzinę oraz przeciwdziedzinę funkcji, np. funkcjonał, operator itp.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Funkcją tożsamościową a. identycznościową zbioru S nazywa się funkcję \operatorname{i}_S\colon S \to S daną dla każdego x \in S wzorem

\operatorname{i}_S(x) = x.

Zwykle funkcję tę oznacza się symbolem zawierającym małą lub dużą literę i lub 1, często spotyka się też symbol id. Do najpopularniejszych oznaczeń należą m.in. \operatorname{id}_S, \operatorname{I}_S, \operatorname{1}_S, choć dwa ostatnie symbole często oznaczają funkcję charakterystyczną zbioru S. Jeżeli nie prowadzi to do nieporozumień, to zwykle opuszcza się też indeks dolny wskazujący zbiór, na którym określono funkcję tożsamościową.

W języku teorii mnogości, gdzie funkcja definiowana jest jako szczególny rodzaj relacji dwuargumentowej, funkcja tożsamościowa dana jest jako relacja tożsamościowa lub przekątna M.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Wykres funkcji tożsamościowej określonej na liczbach rzeczywistych.

Jeżeli f\colon M \to N jest dowolną funkcją, to f \circ \operatorname{id}_M = f = \operatorname{id}_N \circ f, gdzie \circ oznacza złożenie funkcji. W szczególności \operatorname{id}_M jest elementem neutralnym (identycznością) monoidu wszystkich funkcji M \to M.

Ponieważ element neutralny w monoidzie wyznaczony jest jednoznacznie, to funkcję identycznościową na M można zdefiniować również jako wspomniany element neutralny. Taka definicja uogólnia się do pojęcia morfizmu identycznościowego w teorii kategorii, gdzie endomorfizmy M nie muszą być funkcjami.

Funkcja identycznościowa jest wzajemnie jednoznaczna. W szczególności odwzorowanie tożsamościowe dowolnej struktury algebraicznej jest jej automorfizmem.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Funkcja liniowa postaci x \mapsto x jest tożsamością na zbiorze liczb rzeczywistych.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]