Prawo Stefana-Boltzmanna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Prawo Stefana-Boltzmanna opisuje całkowitą moc wypromieniowywaną przez ciało doskonale czarne w danej temperaturze. Zostało opracowane w 1879 przez Jožefa Stefana i Ludwiga Boltzmanna.

 \Phi = \sigma T^{4} \,

gdzie

\Phi - strumień energii wypromieniowywany z jednostki powierzchni ciała [W/m^{2}]
\sigma - stała Stefana-Boltzmanna
T - temperatura w skali Kelvina

Wyprowadzenie[edytuj | edytuj kod]

Prawo Stefana-Boltzmanna można wyprowadzić korzystając z rozkładu Bosego-Einsteina dla fotonów zamkniętych w pudełku o objętości V. Średnia energia fotonów w danej temperaturze T wynosi:

\langle E\rangle = \int\limits _{0} ^{\infty} \hbar \omega \rho(\omega) \frac{1}{\exp(\frac{\hbar \omega}{K_{B}T}) -1} d \omega

gdzie

\omega - częstotliwość fotonów
\rho(\omega) - gęstość stanów dla fotonów
\hbar - stała Diraca
K_{B} - stała Boltzmanna

Podstawienie wartości

\rho(\omega) = \frac{V \omega^{2}}{\pi ^{2} c ^{3}}

daje

\langle E\rangle = \frac{V\hbar}{\pi ^{2} c ^{3}} \int\limits _{0} ^{\infty} \omega^{3} \frac{1}{\exp(\frac{\hbar \omega}{K_{B}T}) -1} d \omega

Wartością tej całki jest:

\langle E \rangle = \frac{6V\hbar}{\pi ^{2} c ^{3}} \left(\frac{K_{B}T}{\hbar} \right)^{4} \zeta(4)

gdzie

\zeta(4) - wartość funkcji zeta Riemanna

Powyższy wynik jest równoważny prawu Stefana-Boltzmanna.