Prawo Stefana-Boltzmanna

Prawo Stefana-Boltzmanna opisuje całkowitą moc wypromieniowywaną przez ciało doskonale czarne w danej temperaturze. Zostało opracowane w 1879 przez Jožefa Stefana i Ludwiga Boltzmanna.

$\Phi = \sigma T^{4} \,$

gdzie

$\Phi$ - strumień energii wypromieniowywany w kierunku prostopadłym do powierzchni ciała [$W/m^{2}$]

$\sigma$ - stała Stefana-Boltzmanna

$T$ - temperatura w skali Kelvina

Wyprowadzenie

Prawo Stefana-Boltzmanna można wyprowadzić korzystając z rozkładu Bosego-Einsteina dla fotonów zamkniętych w pudełku o objętości V. Średnia energia fotonów w danej temperaturze T wynosi:

$\langle E\rangle = \int\limits _{0} ^{\infty} \hbar \omega \rho(\omega) \frac{1}{\exp(\frac{\hbar \omega}{K_{B}T}) -1} d \omega$

gdzie

$\omega$ - częstotliwość fotonów

$\rho(\omega)$ - gęstość stanów dla fotonów

$\hbar$ - stała Diraca

$K_{B}$ - stała Boltzmanna

Podstawienie wartości

$\rho(\omega) = \frac{V \omega^{2}}{\pi ^{2} c ^{3}}$

daje

$\langle E\rangle = \frac{V\hbar}{\pi ^{2} c ^{3}} \int\limits _{0} ^{\infty} \omega^{3} \frac{1}{\exp(\frac{\hbar \omega}{K_{B}T}) -1} d \omega$

Wartością tej całki jest:

$\langle E \rangle = \frac{6V\hbar}{\pi ^{2} c ^{3}} \left(\frac{K_{B}T}{\hbar} \right)^{4} \zeta(4)$

gdzie

$\zeta(4)$ - wartość funkcji zeta Riemanna

Powyższy wynik jest równoważny prawu Stefana-Boltzmanna.