Tożsamość czterech kwadratów Eulera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Tożsamość czterech kwadratów Eulera - tożsamość algebraiczna zachodząca dla dowolnch ośmiu liczb rzeczywistych, z której wynika, że iloczyn dwóch sum czterech kwadratów również jest sumą kwadratów. Dokładniej:

(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)=\,
(a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4)^2 +\,
(a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3)^2 +\,
(a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2)^2 +\,
(a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 + a_4 b_1)^2.\,

Tożsamość podał Leonhard Euler w 1748 w liście do Christiana Goldbacha[1][2]. Odgrywa ona kluczową rolę w dowodzie twierdzenia Lagrange'a o rozkładach liczb naturalnych.

Jeśli a_k i b_kliczbami rzeczywistymi, tożsamość wyraża się w inny sposób: moduł iloczynu dwóch kwaternionów równy jest iloczynowi ich modułów[3]; podobną równość dla liczb zespolonych ustala tożsamość Brahmagupty.

Tożsamość jest prawdziwa dla a_1,a_2,a_3,a_4,b_1,b_2,b_3,b_4 z dowolnego pierścienia przemiennego, gdyż może być udowodniona przy użyciu elementarnej algebry (poprzez rozpisanie nawiasów i zamianę kolejności czynników w iloczynach).

Dla liczb rzeczywistych można ją wywnioskować z następującej tożsamości dla liczb zespolonych (gdyż kwadrat modułu to suma kwadratów części rzeczywistej i urojonej):

(|u_1|^2+|u_2|^2)(|v_1|^2+|v_2|^2)=|u_1 v_1 - u_2 \overline{v_2}|^2+|u_1 v_2 + u_2 \overline{v_1}|^2

której dowód polega na zastosowaniu tożsamości |z|^2=z \overline{z} do wszystkich wyrazów po lewej, zaś tożsamości |u+v|^2=|u|^2 + |v|^2 + 2 Re(u\overline{v}) do wyrazów po prawej.

Przypisy

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

  • [1] List CXV Eulera do Goldbacha

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • John Conway, Richard Guy: The book of Numbers. Springer, 1996. ISBN 0-387-97993-X. (ang.)
  • Robert E. Bradley, Ed Sandifer: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. Elsevier, 2007. (ang.)
  • Abe Shenitzer, John Stillwell: Mathematical Evolutions. Math. Assoc. America, 2002.