Tożsamość czterech kwadratów Eulera

Tożsamość czterech kwadratów Eulera – tożsamość algebraiczna zachodząca dla dowolnych ośmiu liczb rzeczywistych, z której wynika, że iloczyn dwóch sum czterech kwadratów również jest sumą kwadratów. Dokładniej:

${\begin{aligned}&(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})\\=\;&(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}\\+\;&(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}\\+\;&(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}\\+\;&(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}.\end{aligned}}$

Tożsamość podał Leonhard Euler w 1748 w liście do Christiana Goldbacha. Odgrywa ona kluczową rolę w dowodzie twierdzenia Lagrange’a o rozkładach liczb naturalnych.

Jeśli $a_{k}$ i $b_{k}$ są liczbami rzeczywistymi, tożsamość wyraża się w inny sposób: moduł iloczynu dwóch kwaternionów równy jest iloczynowi ich modułów; podobną równość dla liczb zespolonych ustala tożsamość Brahmagupty.

Tożsamość jest prawdziwa dla $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}$ z dowolnego pierścienia przemiennego, gdyż może być udowodniona przy użyciu elementarnej algebry (poprzez rozpisanie nawiasów i zamianę kolejności czynników w iloczynach).

Dla liczb rzeczywistych można ją wywnioskować z następującej tożsamości dla liczb zespolonych (gdyż kwadrat modułu to suma kwadratów części rzeczywistej i urojonej):

$(|u_{1}|^{2}+|u_{2}|^{2})(|v_{1}|^{2}+|v_{2}|^{2})=|u_{1}v_{1}-u_{2}{\overline {v_{2}}}|^{2}+|u_{1}v_{2}+u_{2}{\overline {v_{1}}}|^{2},$

której dowód polega na zastosowaniu tożsamości $|z|^{2}=z{\overline {z}}$ do wszystkich wyrazów po lewej, zaś tożsamości $|u+v|^{2}=|u|^{2}+|v|^{2}+2Re(u{\overline {v}})$ do wyrazów po prawej.

Bibliografia

• John Conway, Richard Guy: The book of Numbers. Springer, 1996. ISBN 0-387-97993-X. (ang.).
• Robert E. Bradley, Ed Sandifer: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. Elsevier, 2007. (ang.).
• Abe Shenitzer, John Stillwell: Mathematical Evolutions. Math. Assoc. America, 2002.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Euler Four-Square Identity, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-02-02].
• List CXV Eulera do Goldbacha