Przestrzeń T0

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Przestrzeń T_0 to termin w topologii opisujący najsłabszy z aksjomatów oddzielania. Przestrzenie T_0 są też nazywane przestrzeniami Kołmogorowa jako że zostały one wprowadzone przez rosyjskiego matematyka Andrieja Kołmogorowa.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Mówimy że przestrzeń topologiczna X jest T_0 jeśli dla dowolnych dwóch różnych punktów x,y\in X istnieje zbiór otwarty w X który zawiera dokładnie jeden z tych punktów.

Równoważne sformułowanie powyższej definicji jest takie, że przestrzeń X jest przestrzenią T_0 wtedy i tylko wtedy gdy różne jednopunktowe podzbiory X mają różne domknięcia.

Przykłady i własności[edytuj | edytuj kod]

  • Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych jest przestrzeniami Kołmogorowa. W szczególności przykładami takich przestrzeni są: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne.
  • Każda przestrzeń przestrzeń T1 jest przestrzenią T_0.
  • Istnieją przestrzenie T_0 które nie są T_1. Rozważmy na przykład przestrzeń X=\{a,b\} z topologią \tau_0=\big\{\emptyset,X,\{a\}\big\} (przestrzeń 2-punktowa Aleksandrowa). Jest to przestrzeń T_0 ale nie T_1.
  • Niech X=\{a,b\} będzie wyposażone w topologię antydyskretną \tau_1=\big\{\emptyset,X\big\}. Jest to przestrzeń topologiczna która nie jest T_0.
  • Przestrzeń Y= (0,1)\cup(1,2), w której za zbiory otwarte uznamy Y, \emptyset, (0,1) i (1,2) także nie jest przestrzenią T_0.
  • Podzbiór przestrzeni T_0 traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią T_0. Własność być przestrzenią T_0 jest więc własnością dziedziczną.
  • Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni T_0 jest przestrzenią T_0.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Engelking, Ryszard; General Topology; Helderman, Berlin, 1989. Strona 36. ISBN 3-88538-006-4
  • Kuratowski, Kazimierz; Topology; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1966. Strona 51.