Przestrzeń T0

Przestrzeń $T_0$ to termin w topologii opisujący najsłabszy z aksjomatów oddzielania. Przestrzenie $T_0$ są też nazywane przestrzeniami Kołmogorowa jako że zostały one wprowadzone przez rosyjskiego matematyka Andrieja Kołmogorowa.

Spis treści

1 Definicja
2 Przykłady i własności
3 Zobacz też
4 Bibliografia

Definicja[edytuj]

Mówimy że przestrzeń topologiczna $X$ jest $T_0$ jeśli dla dowolnych dwóch różnych punktów $x,y\in X$ istnieje zbiór otwarty w $X$ który zawiera dokładnie jeden z tych punktów.

Równoważne sformułowanie powyższej definicji jest takie, że przestrzeń $X$ jest przestrzenią $T_0$ wtedy i tylko wtedy gdy różne jednopunktowe podzbiory $X$ mają różne domknięcia.

Przykłady i własności[edytuj]

Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych jest przestrzeniami Kołmogorowa. W szczególności przykładami takich przestrzeni są: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne.
Każda przestrzeń przestrzeń T₁ jest przestrzenią $T_0$ .
Istnieją przestrzenie $T_0$ które nie są $T_1$ . Rozważmy na przykład przestrzeń $X=\{a,b\}$ z topologią $\tau_0=\big\{\emptyset,X,\{a\}\big\}$ (przestrzeń 2-punktowa Aleksandrowa). Jest to przestrzeń $T_0$ ale nie $T_1$ .
Niech $X=\{a,b\}$ będzie wyposażone w topologię antydyskretną $\tau_1=\big\{\emptyset,X\big\}$ . Jest to przestrzeń topologiczna która nie jest $T_0$ .
Przestrzeń $Y= (0,1)\cup(1,2)$ , w której za zbiory otwarte uznamy $Y, \emptyset$ , $(0,1)$ i $(1,2)$ także nie jest przestrzenią $T_0$ .
Podzbiór przestrzeni $T_0$ traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią $T_0$ . Własność być przestrzenią $T_0$ jest więc własnością dziedziczną.
Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni $T_0$ jest przestrzenią $T_0$ .