Przestrzeń parazwarta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Przestrzeń parazwartaprzestrzeń Hausdorffa o tej własności, że w każde jej pokrycie otwarte można wpisać pokrycie lokalnie skończone (tzn. takie, że dla każdego punktu x przestrzeni X istnieje takie otoczenie otwarte U_x, że U_x ma niepusty przekrój ze skończoną liczbą elementów tego pokrycia). Słowa "wpisać" w definicji nie można zastąpić słowem "wybrać". Niektórzy autorzy (na przykład Kenneth Kunen) pomijają założenie bycia przestrzenią Hausdorffa w definicji parazwartości. Pojęcie przestrzeni parazwartej zostało po raz pierwszy wprowadzone przez Jeana Dieudonné[1] w 1944 roku.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przykłady przestrzeni parazwartych:

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Każda przestrzeń parazwarta jest normalna[1] i kolektywnie normalna.
  • Domknięta podprzestrzeń przestrzeni parazwartej jest parazwarta.
  • Przestrzeń topologiczna jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest parazwarta i lokalnie metryzowalna.
  • Twierdzenie Michaela: Parazwartość jest niezmiennikiem przekształceń domkniętych.
  • Parazwartość jest niezmiennikiem przekształceń doskonałych.
  • Przestrzeń topologiczna X jest parazwarta wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej przestrzeni zwartej Y iloczyn kartezjański X\times Y jest przestrzenią normalną.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Także pojęcie parazwartości doczekało się dalszych uogólnień. W literaturze wyróżnia się co najmniej kilkanaście typów przestrzeni topologicznych rozszerzających pojęcie przestrzeni parazwartej. Dla przykładu:

Przestrzeń topologiczną nazywamy:

  • przeliczalnie parazwartą, jeśli w każde jej przeliczalne pokrycie otwarte można wpisać pokrycie lokalnie skończone.
  • \kappa-parazwartą, jeśli w każde jej pokrycie otwarte mocy \leqslant\kappa można wpisać podpokrycie lokalnie skończone, gdzie \kappa jest pewną nieskończoną liczbą kardynalną.
  • subparazwartą, jeśli w każde jej pokrycie otwarte można wpisać pokrycie σ-lokalnie skończone.

Także w przypadku tych rodzajów przestrzeni pozostaje w mocy uwaga przy definicji przestrzeni parazwartej, dotycząca założenia hausdorffowości przestrzeni.

Przypisy

  1. 1,0 1,1 J. Dieudonne, Une generalisation des espaces compacts, J. Math. Pures Appl. (9) 23 (1944), 65-76

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]