Przestrzeń parazwarta

Przestrzeń parazwarta – przestrzeń Hausdorffa o tej własności, że w każde jej pokrycie otwarte można wpisać pokrycie lokalnie skończone (tzn. takie, że dla każdego punktu $x$ przestrzeni $X$ istnieje takie otoczenie otwarte $U_x$, że $U_x$ ma niepusty przekrój ze skończoną liczbą elementów tego pokrycia). Słowa "wpisać" w definicji nie można zastąpić słowem "wybrać". Niektórzy autorzy (na przykład Kenneth Kunen) pomijają założenie bycia przestrzenią Hausdorffa w definicji parazwartości. Pojęcie przestrzeni parazwartej zostało po raz pierwszy wprowadzone przez Jeana Dieudonné w 1944 roku.

Przykłady

Przykłady przestrzeni parazwartych:

• przestrzenie zwarte Hausdorffa
• przestrzenie metryzowalne
• regularne przestrzenie Lindelöfa (w niektórych źródłach pomijane jest słowo regularne); na przykład, prosta Sorgenfreya.
• Jeżeli $(X_n)_{n\in \mathbb{N}}$ jest ciągiem przestrzeni topologicznych takim, że dla każdej liczby naturalnej $n$ przestrzeń $\prod_{k=1}^nX_k$ jest parazwarta, to przestrzeń $\prod_{n=1}^\infty X_n$ jest parazwarta.

Własności

• Każda przestrzeń parazwarta jest normalna i kolektywnie normalna.
• Domknięta podprzestrzeń przestrzeni parazwartej jest parazwarta.
• Przestrzeń topologiczna jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest parazwarta i lokalnie metryzowalna.
• Twierdzenie Michaela: Parazwartość jest niezmiennikiem przekształceń domkniętych.
• Parazwartość jest niezmiennikiem przekształceń doskonałych.
• Przestrzeń topologiczna $X$ jest parazwarta wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej przestrzeni zwartej $Y$ iloczyn kartezjański $X\times Y$ jest przestrzenią normalną.

Uogólnienia

Także pojęcie parazwartości doczekało się dalszych uogólnień. W literaturze wyróżnia się co najmniej kilkanaście typów przestrzeni topologicznych rozszerzających pojęcie przestrzeni parazwartej. Dla przykładu:

Przestrzeń topologiczną nazywamy:

• przeliczalnie parazwartą, jeśli w każde jej przeliczalne pokrycie otwarte można wpisać pokrycie lokalnie skończone.
• $\kappa$-parazwartą, jeśli w każde jej pokrycie otwarte mocy $\leqslant\kappa$ można wpisać podpokrycie lokalnie skończone, gdzie $\kappa$ jest pewną nieskończoną liczbą kardynalną.
• subparazwartą, jeśli w każde jej pokrycie otwarte można wpisać pokrycie σ-lokalnie skończone.

Także w przypadku tych rodzajów przestrzeni pozostaje w mocy uwaga przy definicji przestrzeni parazwartej, dotycząca założenia hausdorffowości przestrzeni.

Bibliografia

• Engelking, Ryszard. Topologia Ogólna. Warszawa: PWN, 1976.
• Kunen, Kenneth; Vaughan, Jerry E. Handbook of Set-Theoretic Topology. North-Holland. ISBN 0-444-86580-2