Przestrzeń metryzowalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń metryzowalna – w topologii przestrzeń topologiczna, w której można określić strukturę metryczną, czyli wprowadzić metrykę wyznaczającą topologię tej przestrzeni. Przestrzenie metryzowalne mają te same własności topologiczne co przestrzenie metryczne[a]; w szczególności każda przestrzeń metryzowalna (metryczna) jest parazwartą przestrzenią Hausdorffa (a więc również normalna), a także spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności.

Twierdzenia o metryzacji[edytuj | edytuj kod]

Pod nazwą twierdzenie o metryzacji rozumie się każde twierdzenie dające warunki wystarczające na to, by dana przestrzeń topologiczna była metryzowalna. Jednym z pierwszych twierdzeń tego typu były wyniki Pawła Urysohna mówiące, że:

Pierwsze z powyższych twierdzeń zostało udowodnione w 1924 roku[1], drugie – rok później w przypadku przestrzeni normalnych[2]. Twierdzenie w podanej tutaj wersji udowodnił Andriej Tichonow w 1926 roku[3]. Wnioskiem z obydwu powyższych twierdzeń jest następujący fakt:

Jednym z klasycznych twierdzeń metryzacyjnych jest twierdzenie Nagaty-Smirnowa[4][5]m które mówi, że:

Wzmocnieniem twierdzenia Nagaty-Smirnowa jest twierdzenie Binga[6] (nazywane czasem twierdzeniem Nagaty-Binga-Smirnowa) mówiące, że:

  • Przestrzeń Hausdorffa jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest regularna i ma bazę σ-dyskretną.

Korzystając z twierdzenia Binga można dowieść twierdzenia Kowalsky'ego:

Przestrzeń topologiczną nazywa się lokalnie metryzowalną, jeśli każdy jej punkt ma metryzowalne otoczenie. Smirnow dowiódł, że przestrzeń lokalnie metryzowalna jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest Hausdorffa i parazwarta; w szczególności rozmaitość jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest parazwarta.

Innymi przykładami twierdzeń o metryzacji są m.in. twierdzenie Archangielskiego, twierdzenie Moore'a czy twierdzenie Aleksandrowa-Urysohna.

Przykłady przestrzeni niemetryzowalnych[edytuj | edytuj kod]

Każda przestrzeń metryczna jest normalna więc, przestrzenie które nie są normalne nie są tym samym metryzowalne.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Uwagi

  1. Wynika to stąd, iż odwzorowanie tożsamościowe jest homeomorfizmem.
  2. Topologia ta pokrywa się z topologią Tichonowa w produkcie \scriptstyle \mathbb{R^R}.

Przypisy

  1. Urysohn, Paweł: Über die Metrisation der kompakten topologischen Räume, Math. Ann. 92 (1924), ss. 275-293.
  2. Urysohn, Paweł: Zum Metrisationproblem. Math. Ann. 94 (1925). ss. 309-315.
  3. Tichonow, Andriej: Über einen Metrisationssatz von P. Urysohn. Math. Ann. vol. 95 (1926) ss. 139-142.
  4. Nagata J.: On a necessary and sufficient condition of metrizability, J. Inst. Poly. Osaka City Univ. 1 (1950), ss. 93-100.
  5. Smirnow Jurij: On metrization of topological spaces, Uspekhi. Matem. Nauk 6 (1951). ss. 100-111.
  6. Bing R.H.: Metrization of topological spaces Canad. J. Math., 3 (1951) ss. 175–186.
  7. Swardson, M. A.: A short proof of Kowalsky's hedgehog theorem, "Proceedings of the American Mathematical Society" 75 (1979). s. 188. [1]