Przestrzeń metryzowalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń metryzowalnaprzestrzeń topologiczna, w której można określić strukturę metryczną, czyli wprowadzić metrykę wyznaczającą topologię tej przestrzeni. Przestrzenie metryzowalne mają te same własności topologiczne co przestrzenie metryczne[a]; w szczególności każda przestrzeń metryzowalna (metryczna) jest parazwartą przestrzenią Hausdorffa (a więc również normalna), a także spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności.

Twierdzenia o metryzacji[edytuj | edytuj kod]

Pod nazwą twierdzenie o metryzacji rozumie się każde twierdzenie dające warunki wystarczające na to, by dana przestrzeń topologiczna była metryzowalna. Jednym z pierwszych twierdzeń tego typu były wyniki Pawła Urysohna mówiące, że:

Pierwsze z powyższych twierdzeń zostało udowodnione w 1924 roku[1], drugie – rok później w przypadku przestrzeni normalnych[2]. Twierdzenie w podanej tutaj wersji udowodnił Andriej Tichonow w 1926 roku[3]. Wnioskiem z obydwu powyższych twierdzeń jest następujący fakt:

Jednym z klasycznych twierdzeń metryzacyjnych jest twierdzenie Nagaty-Smirnowa[4][5]m które mówi, że:

Wzmocnieniem twierdzenia Nagaty-Smirnowa jest twierdzenie Binga[6] (nazywane czasem twierdzeniem Nagaty-Binga-Smirnowa) mówiące, że:

  • Przestrzeń Hausdorffa jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest regularna i ma bazę σ-dyskretną.

Korzystając z twierdzenia Binga można dowieść twierdzenia Kowalsky'ego:

Przestrzeń topologiczną nazywa się lokalnie metryzowalną, jeśli każdy jej punkt ma metryzowalne otoczenie. Smirnow dowiódł, że przestrzeń lokalnie metryzowalna jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest Hausdorffa i parazwarta; w szczególności rozmaitość jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest parazwarta.

Innymi przykładami twierdzeń o metryzacji są m.in. twierdzenie Archangielskiego, twierdzenie Moore'a czy twierdzenie Aleksandrowa-Urysohna.

Przykłady przestrzeni niemetryzowalnych[edytuj | edytuj kod]

Każda przestrzeń metryczna jest normalna więc, przestrzenie które nie są normalne nie są tym samym metryzowalne.

Uwagi

  1. Wynika to stąd, iż odwzorowanie tożsamościowe jest homeomorfizmem.
  2. Topologia ta pokrywa się z topologią Tichonowa w produkcie \scriptstyle \mathbb{R^R}.

Przypisy

  1. Urysohn, Paweł: Über die Metrisation der kompakten topologischen Räume, Math. Ann. 92 (1924), ss. 275-293.
  2. Urysohn, Paweł: Zum Metrisationproblem. Math. Ann. 94 (1925). ss. 309-315.
  3. Tichonow, Andriej: Über einen Metrisationssatz von P. Urysohn. Math. Ann. vol. 95 (1926) ss. 139-142.
  4. Nagata J.: On a necessary and sufficient condition of metrizability, J. Inst. Poly. Osaka City Univ. 1 (1950), ss. 93-100.
  5. Smirnow Jurij: On metrization of topological spaces, Uspekhi. Matem. Nauk 6 (1951). ss. 100-111.
  6. Bing R.H.: Metrization of topological spaces Canad. J. Math., 3 (1951) ss. 175–186.
  7. Swardson, M. A.: A short proof of Kowalsky's hedgehog theorem, "Proceedings of the American Mathematical Society" 75 (1979). s. 188. [1]