Reprezentacja grupy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Reprezentacja grupy – w teorii grup każdy homomorfizm grupy w grupę przekształceń liniowych odwracalnych ustalonej przestrzeni liniowej nad zadanym ciałem.

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Reprezentacją grupy G w przestrzeni liniowej V nad ciałem K jest homomorfizm grupowy grupy G w pełną grupę liniową GL(V).

  • Wymiar przestrzeni wektorowej V nazywamy wymiarem reprezentacji.

Charakter reprezentacji[edytuj | edytuj kod]

Niech V będzie zespoloną przestrzenią wektorową. Charakterem reprezentacji \varphi nazywamy odwzorowanie \chi_\varphi\colon G \to \mathbb C,\; \chi_\varphi(g) = \operatorname{tr}\, \varphi(g), gdzie g \in G, zaś \operatorname{tr} jest operatorem śladu.

Iloczyn tensorowy i suma prosta reprezentacji[edytuj | edytuj kod]

Suma prosta reprezentacji to odwzorowanie \oplus przypisujące dwu reprezentacjom danej grupy nad tym samym ciałem reprezentację przypisującą każdemu elementowi grupy sumę prostą odwzorowań przypisywanych mu przez te reprezentacje.

Dla

\varphi : G \to GL(V)
\psi : G \to GL(W)

Jest to

\varphi \oplus \psi : G \to GL(V \oplus W)
(\varphi \oplus \psi)(g) = \varphi(g) \oplus \psi(g)

Analogicznie iloczyn tensorowy reprezentacji to odwzorowanie \otimes przypisujące dwu reprezentacjom danej grupy nad tym samym ciałem reprezentację przypisującą każdemu elementowi grupy iloczyn tensorowy odwzorowań przypisywanych mu przez te reprezentacje.

Dla

\varphi : G \to GL(V)
\psi : G \to GL(W)

Jest to

\varphi \otimes \psi : G \to GL(V \otimes W)
(\varphi \otimes \psi)(g) = \varphi(g) \otimes \psi(g)

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Jan Dereziński: Teoria grup. [dostęp 2011-02-26].