Grupa obrotów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Macierze obrotu w przestrzeni n-wymiarowej tworzą grupę O(n), jeżeli spełniają warunek zachowania długości wektora przy obrotach

x^i \rightarrow {x'}^i = R^i_j x^j ,
\sum_{i}^n (x^i)^2 = \sum_{i}^n ({x'}^i)^2

(i=1..n). Daje to warunek R^{T} R =I gdzie macierz transponowana (R^T)^i_j=R^j_i . Ponieważ macierz odwrotna spełnia równanie R^{-1}R=I, to dla grupy obrotów R^{-1}=R^{T}. W zbiorze macierzy ortogonalnych O(n) istnieje element neutralny (macierz jednostkowa I), element odwrotny R^{-1}R=I, a mnożenie dwóch macierzy ortogonalnych jest macierzą ortogonalną. Zachodzi zatem:

  • jeżeli R i S są macierzami ortogonalnymi to U = R S też jest macierzą ortogonalną
  • istnieje element neutralny R=I, który też jest macierzą ortogonalną
  • istnieje element odwrotny R^{-1}=R^{T}.

Zbiór macierzy ortogonalnych tworzy grupę. Dodatkowy warunek \det(R)=1 definiuje podgrupę SO(n). W euklidesowej przestrzeni 3-wymiarowej realizują się grupa O(3) i jej podgrupa SO(3).

Element grupy SO(3), R można parametryzować w sposób ciągły przez trzy parametry wektor \alpha, oś obrotu \omega i kąt obrotu ψ (przy czym \alpha^i=\omega^i \psi , \omega^1=\sin(\theta) \sin(\phi), \omega^2=\sin(\theta) \cos(\phi), \omega^3=\cos(\theta)).

R=e^{i\sum_{a}^{3}T^a \alpha^a}.

Trzy macierze T^a nazywamy generatorami grupy obrotów. Grupa obrotów SO(3) jest ciągłą. Generatory grupy SO(3) to:

T^1=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{bmatrix},\ T^2=\begin{bmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{bmatrix}, \ T^3=\begin{bmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}

Generatory te spełniają regułę komutacji

 [ T^a, T^b ] =i \sum_c \epsilon_{a b c}T^c

gdzie ε jest symbolem antysymetrycznym równym 1,-1 w zależności czy (a b c) jest parzystą czy nieparzystą permutacją (1 2 3) lub 0 gdy dwa lub trzy wskaźniki są takie same.

Generatory grupy SO(n) rozpinają algebrę liniową so(n) z mnożeniem zdefiniowanym jako komutator  A\times B =[A B - B A]  (komutator). Jest to algebra Liego.

Bardzo podobne relacje w mechanice kwantowej spełnia operator momentu pędu \vec{L}=\vec{x}\times \vec{p} (z dokładnością do stałej Plancka \hbar). Operator ten jest reprezentacją algebry so(3) w przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem L^2. Z własności tej algebry (i grupy SO(3) ) wynika niemożność jednoczesnego pomiaru wszystkich składowych momentu pędu w mechanice kwantowej (odpowiednia zasada nieoznaczoności). Identyczne reguły komutacyjne spełnia operator spinu (jest to konsekwencją algebry Liego su(2) dla grupy nakrywającej SU(2)).

Zobacz też: Grupa SO(2), Grupa SU(2)