Grupa obrotów

Macierze obrotu w przestrzeni n-wymiarowej tworzą grupę O(n), jeżeli spełniają warunek zachowania długości wektora przy obrotach

$x^i \rightarrow {x'}^i = R^i_j x^j ,$

$\sum_{i}^n (x^i)^2 = \sum_{i}^n ({x'}^i)^2$

(i=1..n). Daje to warunek $R^{T} R =I$ gdzie macierz transponowana $(R^T)^i_j=R^j_i$. Ponieważ macierz odwrotna spełnia równanie $R^{-1}R=I$, to dla grupy obrotów $R^{-1}=R^{T}$. W zbiorze macierzy ortogonalnych O(n) istnieje element neutralny (macierz jednostkowa I), element odwrotny $R^{-1}R=I$, a mnożenie dwóch macierzy ortogonalnych jest macierzą ortogonalną. Zachodzi zatem:

• jeżeli $R$ i $S$ są macierzami ortogonalnymi to $U = R S$ też jest macierzą ortogonalną
• istnieje element neutralny $R=I$, który też jest macierzą ortogonalną
• istnieje element odwrotny $R^{-1}=R^{T}$.

Zbiór macierzy ortogonalnych tworzy grupę. Dodatkowy warunek $\det(R)=1$ definiuje podgrupę SO(n). W euklidesowej przestrzeni 3-wymiarowej realizują się grupa O(3) i jej podgrupa SO(3).

Element grupy SO(3), $R$ można parametryzować w sposób ciągły przez trzy parametry wektor $\alpha$, oś obrotu $\omega$ i kąt obrotu ψ (przy czym $\alpha^i=\omega^i \psi$, $\omega^1=\sin(\theta) \sin(\phi)$, $\omega^2=\sin(\theta) \cos(\phi)$, $\omega^3=\cos(\theta)$).

$R=e^{i\sum_{a}^{3}T^a \alpha^a}$.

Trzy macierze $T^a$ nazywamy generatorami grupy obrotów. Grupa obrotów SO(3) jest ciągłą. Generatory grupy SO(3) to:

$T^1=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{bmatrix},\ T^2=\begin{bmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{bmatrix}, \ T^3=\begin{bmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$

Generatory te spełniają regułę komutacji

$[ T^a, T^b ] =i \sum_c \epsilon_{a b c}T^c$

gdzie ε jest symbolem antysymetrycznym równym 1,-1 w zależności czy (a b c) jest parzystą czy nieparzystą permutacją (1 2 3) lub 0 gdy dwa lub trzy wskaźniki są takie same.

Generatory grupy SO(n) rozpinają algebrę liniową so(n) z mnożeniem zdefiniowanym jako komutator $A\times B$ =[A B - B A] (komutator). Jest to algebra Liego.

Bardzo podobne relacje w mechanice kwantowej spełnia operator momentu pędu $\vec{L}=\vec{x}\times \vec{p}$ (z dokładnością do stałej Plancka $\hbar$). Operator ten jest reprezentacją algebry so(3) w przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem $L^2$. Z własności tej algebry (i grupy SO(3) ) wynika niemożność jednoczesnego pomiaru wszystkich składowych momentu pędu w mechanice kwantowej (odpowiednia zasada nieoznaczoności). Identyczne reguły komutacyjne spełnia operator spinu (jest to konsekwencją algebry Liego su(2) dla grupy nakrywającej SU(2)).

Zobacz też: Grupa SO(2), Grupa SU(2)