Rozciąganie

Rozciąganie osiowe – w wytrzymałości materiałów definiujemy dwa podstawowe przypadki rozciągania osiowego:

Rozciąganie czyste pręta, w którym do ścianek poprzecznych jednorodnego i izotropowego pręta pryzmatycznego przyłożone jest obciążenie o stałej gęstości $\sigma$ o zwrocie zgodnym z wektorem normalnym powierzchni ścianki poprzecznej (prostopadłym do ścianki, skierowanym na zewnątrz). Dla tego przypadku wytrzymałościowego znane jest rzeczywiste rozwiązanie zagadnienia brzegowego liniowej teorii sprężystości.
Rozciąganie proste pręta, które różni się od rozciągania „czystego” tym, że obciążenie zastępujemy dwójką przeciwnie skierowanych, równych co do wartości i współliniowych sił skupionych, działających w osi tego pręta. Analityczne rozwiązanie tego przypadku jest praktycznie niemożliwe, dlatego stosujemy zgodnie z zasadą de Saint-Venanta rozwiązanie zagadnienia czystego rozciągania przyjmując, że $\sigma ={\frac {F_{x}}{A}},$ gdzie $A$ oznacza pole przekroju poprzecznego pręta.

Rozwiązanie zagadnienia czystego rozciągania

Rozwiązanie zagadnienia liniowej teorii sprężystości w przypadku czystego rozciągania jest następujące:

\sigma _{ij}={\begin{pmatrix}\sigma &0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},

\varepsilon _{ij}={\begin{pmatrix}{\frac {\sigma }{E}}&0&0\\0&-\nu {\frac {\sigma }{E}}&0\\0&0&-\nu {\frac {\sigma }{E}}\end{pmatrix}},

gdzie:

Wektor przemieszczeń $u=[u_{1};u_{2};u_{3}]$

wzdłuż osi pręta
$u_{1}={\frac {\sigma }{E}}x_{1}+a+bx_{2}+cx_{3},$
w kierunkach prostopadłych
$u_{2}=-\nu {\frac {\sigma }{E}}x_{2}+d-bx_{1}+fx_{3},$

$u_{3}=-\nu {\frac {\sigma }{E}}x_{3}+g-cx_{1}-fx_{2}.$

Przy czym stałe a,b,...,f wylicza się na podstawie kinematycznych warunków brzegowych (tj. tego jak pręt jest utwierdzony).

Pręty rozciągane projektuje się ze względu na możliwość wystąpienia dwóch stanów niebezpiecznych:

graniczny stan nośności – naprężenia nie mogą przekroczyć wytrzymałości na rozciąganie $\sigma ^{max}={\frac {F_{x}^{max}}{A}}<R_{m},$
graniczny stan użytkowania – wydłużenie nie może przekroczyć wartości dopuszczalnej $\Delta L={\frac {F_{x}l}{AE}}<\Delta L_{dop}$ $\Delta L={\frac {F_{x}l}{AE}}<\Delta L_{dop}$
lub gdy siła osiowa $F_{x}$ $F_{x}$ nie jest stała w całym pręcie (jest funkcją zmiennej $x$ $x$ ): $\Delta L=\int \limits _{0}^{l}~{\frac {F_{x}(x)}{AE}}dx<\Delta L_{dop},$ $\Delta L=\int \limits _{0}^{l}~{\frac {F_{x}(x)}{AE}}dx<\Delta L_{dop},$
- $l$ – długość początkowa pręta.

gdzie: $R_{m}$ – wytrzymałość na rozciąganie, $\delta$ – względne wydłużenie w chwili zerwania.