Stopień rozszerzenia ciała

W matematyce, konkretniej teorii ciał, stopień jest w intuicyjnym sensie miarą „rozmiaru” rozszerzenia ciała. Pojęcie to odgrywa ważną rolę w wielu częściach matematyki, w tym w algebrze, teorii liczb i w wielu dziedzinach, gdzie ciała są kluczowymi obiektami algebraicznymi.

Definicje i oznaczenia

Niech że $E/F$ będzie rozszerzeniem ciała. Wtedy $E$ można traktować jako przestrzeń liniową nad $F$ (które odgrywa rolę skalarów). Wymiar tej przestrzeni wektorowej nazywa się stopniem rozszerzenia ciała i jest oznaczany $[E:F].$

Stopień może być skończony lub nieskończony, ciało jest nazywane odpowiednio skończonym rozszerzeniem lub nieskończonym rozszerzeniem. Rozszerzenie $E/F$ czasem nazywane jest po prostu skończonym, jeśli jest skończonym rozszerzeniem; nie należy tego mylić z ciałami skończonymi (ciałami o skończonej liczbie elementów).

Twierdzenie o stopniach rozszerzeń ciał

Dla trzech ciał dla których zachodzi ciąg włożeń $K\hookrightarrow L\hookrightarrow M,$ istnieje prosta zależność między stopniami trzech rozszerzeń $L/K,$ $M/Q$ i $M/Z{:}$

$[M:K]=[M:L]\cdot [L:K].$

Innymi słowy stopień „dużego” rozszerzenia można obliczyć jako iloczyn pośrednich rozszerzeń. To twierdzenie przypomina twierdzenie Lagrange’a w teorii grup, które łączy rząd grupy i indeks podgrupy; Teoria Galois pokazuje, że ta analogia jest czymś więcej niż tylko zbiegiem okoliczności.

Jeśli $M/K$ jest skończone, to twierdzenie nakłada silne ograniczenia na rodzaj ciał, które mogą wystąpić między $M$ i $K,$ za pomocą prostych arytmetycznych zależności. Na przykład jeśli stopień $[M:K]$ jest liczbą pierwszą $p,$ to dla dowolnego ciała pośredniego $L,$ zachodzi jedno z dwojga: albo $[M:L]=P$ oraz $[L:K]=1,$ w tym przypadku $L$ jest równe $K$ lub $[M:L]=1$ oraz $[L:K]=p,$ w tym przypadku $L$ jest równe $M.$ W takim razie nie istnieje żadne pośrednie rozszerzenie $K$ zawarte w $M.$

Dowód twierdzenia w przypadku skończonym

Niech $K,L,M$ będą ciałami takimi, że $K\hookrightarrow L\hookrightarrow M$ oraz że $d=[L:K]$ i $e=[M:L]$ są skończone. W takim razie istnieje baza $\{u_{1},\dots ,u_{d}\}$ przestrzeni $L$ nad $K$ oraz baza $\{w_{1},\dots ,w_{e}\}$ przestrzeni $M$ nad $L.$ Pokażemy, że elementy $u_{m}w_{n},$ tworzą bazę $M/K;$ a że jest ich dokładnie de, to znaczy, że wymiar $M/K$ wynosi de.

Najpierw musimy sprawdzić, że ten zbiór rozpina $M/K.$ Niech $x$ będzie dowolnym elementem $M,$ ponieważ $w_{n}$ tworzą bazę dla $M$ nad $L,$ możemy znaleźć elementy $a_{n}$ w $L$ takie, że

$x=\sum _{n=1}^{e}a_{n}w_{n}=a_{1}w_{1}+\cdots +a_{e}w_{e}.$

Wtedy, jako że $u_{m}$ tworzą bazę dla $L$ nad $K,$ możemy znaleźć elementy $b_{m,n}$ w $K$ takie, że dla każdego $n,$

$a_{n}=\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}=b_{1,n}u_{1}+\cdots +b_{d,n}u_{d}.$

Następnie za pomocą rozdzielności i łączności mnożenia w $M$ mamy

$x=\sum _{n=1}^{e}\left(\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}\right)w_{n}=\sum _{n=1}^{e}\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}(u_{m}w_{n}),$

co pokazuje, że $x$ jest liniową kombinacja $u_{m}w_{n}$ o współczynnikach z $K;$ innymi słowy, rozpinają one $M$ nad $K.$

Po drugie, musimy sprawdzić, że są one liniowo niezależne nad $K.$ Załóżmy że:

$0=\sum _{n=1}^{e}\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}(u_{m}w_{n})$

dla pewnych współczynników $b_{m,n}$ w $K.$ Wtedy mamy:

$0=\sum _{n=1}^{e}\left(\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}\right)w_{n}.$

W takim razie wyrażenia w nawiasie muszą być zerowe, ponieważ są one elementami $L,$ a $w_{n}$ są liniowo niezależne nad $L.$ Czyli

$0=\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}$

dla każdego $n.$ Ale, $b_{m,n}$ są współczynnikami w $K$ oraz $u_{m}$ są liniowo niezależne nad $K,$ musimy mieć, że $b_{m,n}=0$ dla wszystkich $m$ i $n.$ To pokazuje, że elementy $u_{m}w_{n}$ są liniowo niezależne nad $K.$ To kończy dowód.

Przykłady

• Liczby zespolone są rozszerzeniem ciała nad rzeczywistymi liczbami o stopniu $[\mathbf {C} :\mathbf {R} ]=2,$ w takim razie nie ma nietrywialnych ciał między nimi.
• Rozszerzenie ciała $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}}),$ otrzymane przez dołączenie ${\sqrt {2}},{\sqrt {3}}$ do ciała liczb wymiernych, Ma stopień 4, czyli $[\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}}):\mathbb {Q} ]=4.$ Pośrednie ciało $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ ma stopień 2 nad $\mathbb {Q} ;$ z twierdzenia o stopniu rozszerzeń mamy $[\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}}):\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})]=2.$
• W ciało skończone (ciało Galois) $\mathbf {GF} (125)=\mathbf {GF} (5^{3})$ ma stopień równy 3 nad $\mathbf {GF} (5).$ W bardziej ogólnym przypadku, jeśli $p$ jest pierwsze oraz $m,n$ – liczby całkowite dodatnie i $n$ dzieli $m,$ wtedy $[\mathbf {GF} (p^{m}):\mathbf {GF} (p^{n})]=m/n.$
• Rozszerzenie ciała $\mathbf {C} (T)/\mathbf {C} ,$ gdzie $\mathbf {C} (T)$ to ciało funkcji wymiernych nad $\mathbf {C} ,$ ma nieskończony stopień. Zauważmy, że elementy $1,T,T^{2},$ itp. liniowo niezależne nad $\mathbf {C} .$

Bibliografia

• Proof of the multiplicativity formula. W: Nathan Jacobson: Basic Algebra I. W. H. Freeman and Company, 1985, s. 215. ISBN 0-7167-1480-9.
• Nathan Jacobson: Basic Algebra II. W. H. Freeman and Company, 1989, s. 465. ISBN 0-7167-1933-9.