Algebra abstrakcyjna
Algebra abstrakcyjna (dawniej algebra współczesna[1]) – dział matematyki badający struktury algebraiczne za pomocą ich homomorfizmów[1][2][3] i innych narzędzi[4]. Niekiedy za części algebry abstrakcyjnej uznaje się także następujące dyscypliny matematyczne: algebrę liniową, elementarną teorię liczb i matematykę dyskretną[5]. Na przykład Ash przydzielił do algebry abstrakcyjnej następujące obszary matematyki: logikę matematyczną i podstawy matematyki, elementarną arytmetykę, elementarną teorię liczb, nieformalną teorię grup, algebrę liniową i teorię operatorów liniowych[5][6].
Nazwę algebra abstrakcyjna wprowadzono na początku XX wieku dla odróżnienia jej od innych części algebry[2].
Przykłady struktur algebraicznych
[edytuj | edytuj kod]Są nimi m.in.:
- grupy[1][7][8][4][5][9][10][11], półgrupy[11] i grupoidy[12];
- ciała[1][4][5][10][13][14][15][11], pierścienie [1][4][5][10][16][13][17][11] i ideały[18][4][10][19][11];
- przestrzenie wektorowe i moduły[1][4][20][11];
- algebry nad ciałami[21][11].
Rola w matematyce
[edytuj | edytuj kod]Algebraik Claude Chevalley twierdził, że algebra przede wszystkim stanowi język matematyki i nie istnieje sama dla siebie, lecz jej kierunki rozwoju są uzależnione od potrzeb w innych dziedzinach matematyki[22]. Hermann Weyl w swym artykule Topologie und abstrakte Algebra als zwei Wege mathematischen Verstandisse (1932) stwierdził, iż algebra abstrakcyjna oraz topologia są głównymi drogami zrozumienia matematycznego[22].
Takie ujęcie roli algebry abstrakcyjnej w matematyce może uzasadniać algebraizację całej matematyki, rozpoczętą na przełomie XIX i XX wieku[22]. Algebraizacja matematyki polega na abstrakcyjnym formułowaniu problemów matematycznych w postaci algebraicznej[10]. Osiągane tą metodą wyniki łączą zazwyczaj wiele pozornie odległych działów matematyki i często są zaskakujące[10].
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ a b c d e f Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s. 7, Algebra.
- ↑ a b modern algebra, [w:] Encyclopædia Britannica [dostęp 2022-09-30] (ang.).
- ↑ Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s. 264–265, Homomorfizm struktur algebraicznych.
- ↑ a b c d e f Mathematics: About abstract algebra.
- ↑ a b c d e John Renze, Eric W. Weisstein, Abstract Algebra, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
- ↑ Robert B. Ash, A Primer of Abstract Mathematics, Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1998.
- ↑ John Beachy: „Abstract Algebra On Line”, Gropus.
- ↑ Edwin Connell „Elements of Abstract and Linear Algebra”, Chapter 02.
- ↑ Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s. 262–264, Grupa.
- ↑ a b c d e f Encyklopedia Powszechna PWN, PWN, Warszawa 1983, ISBN 83-01-00001-5, t. 1, s. 68, Algebra.
- ↑ a b c d e f g Zdzisław Opial, Algebra wyższa, PWN, Łódź 1972, s. 47-49, Podstawowe typy struktur algebraicznych
- ↑ A.H. Clifford, G.B. Preston: The algebraic theory of semigroups (wyd. rosyjskie). Wyd. 1. Moskwa: Nauka, 1972, s. 15.
- ↑ a b Edwin Connell „Elements of Abstract and Linear Algebra”, Chapter 03.
- ↑ John Beachy: „Abstract Algebra On Line”, Fields.
- ↑ Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s. 264, Ciało.
- ↑ John Beachy: „Abstract Algebra On Line”, Rings.
- ↑ Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s. 264, Pierścień.
- ↑ Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, ISBN 83-01-14388-6; s. 172, definicja 124.
- ↑ Sethuraman, B.A.. (2015), „A Gentle Introduction to Abstract Algebra”.
- ↑ John Beachy: „Abstract Algebra On Line”, Modules.
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 106–107.
- ↑ a b c Krzysztof Maurin, Przedmowa, Warszawa, 24 grudnia 1975, [w:] Jacek Komorowski, Od liczb zespolonych, do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978, s. IX.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Bolesław Gleichgewicht, Elementy algebry abstrakcyjnej, Warszawa 1974.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Eric W. Weisstein, Abstract Algebra, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-06-01].