Rozdzielność

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rozdzielność działań jest własnością pierścienia (a więc i ciała) określającą powiązanie dwóch operatorów: addytywnego (nazywanego zwykle dodawaniem) i multiplikatywnego (zwykle mnożenie).

Niech \oplus i \otimes będą symbolami pewnych działań w zbiorze S. Powiemy, że działanie \otimes jest rozdzielne względem działania \oplus, jeżeli \forall_{a,b,c \in S} zachodzą równości:

  • a \otimes (b \oplus c) = (a \otimes b) \oplus (a \otimes c),
  • (b \oplus c) \otimes a = (b \otimes a) \oplus (c \otimes a).

Można mówić o rozdzielności lewostronnej działania \otimes względem \oplus, gdy spełniony jest jedynie pierwszy z warunków lub o rozdzielności prawostronnej, gdy spełniony jest wyłącznie drugi z warunków.

Działanie przemienne i jednostronnie rozdzielne jest rozdzielne obustronnie.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

W arytmetyce liczb rzeczywistych:

  • mnożenie jest rozdzielne względem dodawania:
a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c).

W teorii mnogości:

A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C),
A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C).

W rachunku zdań:

p \and (q \or r) = (p \and q) \or (p \and r),
p \or (q \and r) = (p \or q) \and (p \or r).

Dodawanie liczb nie jest rozdzielne względem mnożenia:

2 + (2 \cdot 3) \ne (2 + 2) \cdot (2 + 3).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]