Topologia wprowadzona przez rodzinę przekształceń

Topologia wprowadzona przez rodzinę przekształceń (także słaba topologia, ang. initial topology) – najuboższa topologia w danym zbiorze $X,$ względem której każde przekształcenie ze z góry zadanej rodziny przekształceń zbioru $X$ o wartościach w przestrzeniach topologicznych jest ciągłe. Pojęcie topologii wprowadzonej przez rodzinę przekształceń wprowadził Nicolas Bourbaki.

Konstrukcja

Niech $X$ będzie zbiorem, $\{Y_{i}\colon i\in I\}$ będzie rodziną przestrzeni topologicznych oraz niech dla każdego $i$ dana będzie funkcja (przekształcenie)

$f_{i}\colon X\to Y_{i}.$

W zbiorze $X$ istnieje najsłabsza topologia, względem której każda funkcja $f_{i}$ jest ciągła. Bazą tej topologii jest rodzina zbiorów postaci

$\bigcap _{i\in J}f_{i}^{-1}[V_{i}],$

gdzie $J$ jest skończonym podzbiorem zbioru $I$ oraz $V_{i}$ jest otwartym podzbiorem $Y_{i}.$ Topologia ta nazywana jest topologią wyznaczoną przez rodzinę przekształceń $\{f_{i}\colon i\in I\}.$

• Przekształcenie przestrzeni topologicznej $W$ w przestrzeń $Y,$ której topologia jest wyznaczona przez rodzinę przekształceń $\{f_{i}\colon \,i\in I\},$ gdzie $f_{i}\colon Y\to Z_{i},$ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $i$ złożenie $f_{i}\circ f$ jest ciągłe.

Przykłady

• Jeżeli $X$ jest przestrzenią liniowo-topologiczną, której przestrzeń sprzężona $X^{*}$ jest nietrywialna (na przykład, $X$ jest przestrzenią lokalnie wypukłą, w szczególności, przestrzenią unormowaną), to w zbiorze $X$ można wprowadzić topologię wyznaczoną przez rodzinę $\{x^{*}\colon \,x^{*}\in X^{*}\}.$ Topologia ta, nazywana słabą topologią w $X,$ jest liniowa oraz lokalnie wypukła.
• Jeżeli $X$ jest taką przestrzenią liniowo-topologiczną jak wyżej, to w przestrzeni $X^{*}$ można wprowadzić tzw. *-słabą topologię, tj. topologię wprowadzoną przez rodzinę przekształceń $\{\Phi _{x}\colon \,x\in X\},$ gdzie $\Phi _{x}x^{*}=x^{*}x$ dla $x\in X$ i $x^{*}\in X^{*}$ (każde odwzorowanie $\Phi _{x}$ jest funkcjonałem liniowym na $X^{*}$).

Bibliografia

• Nicolas Bourbaki: General Topology. T. 1. Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag, 1990, s. 30–31. ISBN 3-540-64241-2.
• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1976, s. 48–49.