Topologia wprowadzona przez rodzinę przekształceń

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Topologia wprowadzona przez rodzinę przekształceń (słaba topologia; w angielskiej literatrze initial topology) - w danym zbiorze X, najuboższa topologia względem, której każde przekształcenie ze z góry zadanej rodziny przekształceń zbioru X o wartościach w przestrzeniach topologicznych jest ciągłe. Pojęcie topologii wprowadzonej przez rodzinę przekształceń wprowadził Nicolas Bourbaki.

Konstrukcja[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie zbiorem, \{Y_i\colon i\in I\} będzie rodziną przestrzeni topologicznych oraz niech dla każdego i dana będzie funkcja (przekształcenie)

f_i\colon X\to Y_i.

W zbiorze X istnieje najsłabsza topologia względem, której każda funkcja f_i jest ciągła. Bazą tej topologii jest rodzina zbiorów postaci

\bigcap_{i\in J}f^{-1}_i[V_i],

gdzie J jest skończonym podzbiorem zbioru I oraz V_i jest otwartym podzbiorem Y_i. Topologia ta nazywana jest topologią wyznaczoną przez rodzinę przekształceń \{f_i\colon i\in I\}.

  • Przekształcenie przestrzeni topologicznej W w przestrzeń Y, której topologia jest wyznaczona przez rodzinę przekształceń \{f_i\colon\, i\in I\}, gdzie f_i\colon Y\to Z_i, jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego i złożenie f_i\circ f jest ciągłe.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Nicolas Bourbaki: General Topology. T. 1. Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag, 1990, s. 30-31. ISBN 3-540-64241-2.
  2. Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1976, s. 48-49.