Twierdzenie Banacha-Steinhausa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Banacha-Steinhausa (zasada jednostajnej ograniczoności) – twierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, w swym klasycznym sformułowaniu, że granica punktowa ciągu operatorów liniowych i jednakowo ciągłych między przestrzeniami Banacha jest ciągłym operatorem liniowym. Twierdzenie Banacha-Steinhausa można sforumułować ogólniej, aby uwypuklić istotność założeń wersji klasycznej.

Pierwszy dowód twierdzenia przedstawili w 1927 roku Stefan Banach i Hugo Steinhaus[1].

Jednakowa ciągłość[edytuj | edytuj kod]

Dalej X i Y oznaczać będą ustalone przestrzenie liniowo-topologiczne. Rodzinę \mathcal{L} przekształceń liniowych przestrzeni X w przestrzeń Y nazywa się jednakowo ciągłą, gdy dla każdego otoczenia zera W\subseteq Y istnieje takie otoczenie zera U\subseteq X, że

\Lambda(U)\subseteq W

dla każdego \Lambda\in \mathcal{L}. W przypadku gdy X i Yprzestrzeniami unormowanymi, to rodzina \mathcal{L} jest jednakowo ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy

(\exist M>0)(\forall \Lambda\in \mathcal{L})(\|\Lambda\|\leq M).

Twierdzenie Banacha-Steinhausa[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathcal{L} będzie rodziną przekształceń liniowych przestrzeni X w przestrzeń Y. Jeżeli zbiór

F=\{x\in X\colon \mbox{zbiór }\{\Lambda x\colon \Lambda \in \mathcal{L}\}\mbox{ jest ograniczony}\}

jest podzbiorem drugiej kategorii przestrzeni X, to \mathcal{L} jest rodziną jednakowo ciągłą oraz zbiór F jest całą przestrzenią.

Wnioski[edytuj | edytuj kod]

  • Twierdzenie Baire'a mówi, że przestrzenie metryczne zupełne są (w sobie) drugiej kategorii. Używając twierdzenia Baire'a, można udowodnić, że jeżeli X jest F-przestrzenią oraz dla każdego punktu x przestrzeni X zbiór \{\Lambda x\colon \Lambda\in \mathcal{L}\} jest ograniczony, to \mathcal{L} jest rodziną jednakowo ciągłą.
  • Jeżeli X jest F-przestrzenią oraz \{\Lambda_n\colon n\in \mathbb{N}\} jest ciągiem operatorów liniowych i jednakowo ciągłych określonych na przestrzeni X i o wartościach w przestrzeni Y, który jest punktowo zbieżny do przekształcenia \Lambda, to przekształcenie \Lambda\colon X\to Y jest operatorem liniowym i ciągłym.
  • Twierdzenia Banacha-Steinhausa używa się do dowodu faktu, że każdy słabo ograniczony podzbiór przestrzeni liniowo-topologicznej lokalnie wypukłej jest ograniczony (tzn. ograniczony w sensie wyjściowej topologii przestrzeni).

Przypisy

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009, s. 55-56.