Twierdzenie Hartmana-Grobmana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Hartmana-Grobmana – twierdzenie jakościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych mówiące, że jeśli macierz linearyzacji równania nie ma czysto urojonych wartości własnych, to równanie jest topologicznie sprzężone ze swoją linearyzacją.

Pojęcie topologicznego sprzężenia równań różniczkowych[edytuj | edytuj kod]

Niech Ω będzie niepustym zbiorem otwartym w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Niech f i g będą funkcjami określonymi na Ω o wartościach w rzeczywistej przestrzeni euklidesowej n-wymiarowej spełniającymi lokalny warunek Lipschitza. Mówimy, że równania różniczkowe: x'(t) = f(x(t)) oraz x'(t) = g(x(t))topologicznie równoważne na otoczeniu punktu x0Ω (czyli mają taką samą strukturę jakościową na otoczeniu tego punktu), jeżeli istnieje otwarte otoczenie U tego punktu oraz homeomorfizm H : U \rightarrow V = H(U) \subset \Omega odwzorowujący trajektorie fazowe równania x'(t) = f(x(t)) w U na trajektorie fazowe równania x'(t) = g(x(t)) w V i zachowujący orientację. Jeżeli homeomorfizm H zachowuje jednocześnie parametryzację przez czas, to równania te nazywamy topologicznie sprzężonymi.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech Ω będzie niepustym zbiorem otwartym w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Niech \phi oznacza układ dynamiczny indukowany przez równanie różniczkowe zwyczajne

x^{\prime} (t) = f(x(t)),

gdzie f\colon \Omega \longrightarrow \mathbb{R}^n jest odwzorowaniem klasy C1. Niech x0Ω będzie takim punktem stacjonarnym równania

x^{\prime} (t) = f(x(t)),

że

\sigma ( Df(x_0)) \cap i \mathbb{R} = \varnothing.

Wówczas równania

x^{\prime} (t) = f(x(t)),
x^{\prime} (t) = Df(x_0)x(t)

są sprzężone topologicznie na pewnym otoczeniu punktu x0, tzn. istnieje takie otwarte otoczenie UΩ punktu x0 oraz homeomorfizm h:U \longrightarrow V = h(U) \subseteq \Omega, że

\forall \xi \in U \ \exists J(\xi) \subseteq \mathbb{R} \ \forall t \in J(\xi) \ h \circ \phi (t, \xi) = e^{Df(x_0)t} \cdot h(\xi).

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]