Twierdzenie Hartmana-Grobmana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Hartmana-Grobmana – twierdzenie jakościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych mówiące, że jeśli macierz linearyzacji równania nie ma czysto urojonych wartości własnych, to równanie jest topologicznie sprzężone ze swoją linearyzacją.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech Ω będzie niepustym zbiorem otwartym w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Niech \phi oznacza układ dynamiczny indukowany przez równanie różniczkowe zwyczajne

x^{\prime} (t) = f(x(t)),

gdzie f\colon \Omega \longrightarrow \mathbb{R}^n jest odwzorowaniem klasy C1. Niech x0Ω będzie takim punktem stacjonarnym równania

x^{\prime} (t) = f(x(t)),

że

\sigma ( Df(x_0)) \cap i \mathbb{R} = \varnothing.

Wówczas równania

x^{\prime} (t) = f(x(t)),
x^{\prime} (t) = Df(x_0)x(t)

są sprzężone topologicznie na pewnym otoczeniu punktu x0, tzn. istnieje takie otwarte otoczenie UΩ punktu x0 oraz homeomorfizm h:U \longrightarrow V = h(U) \subseteq \Omega, że

\forall \xi \in U \ \exists J(\xi) \subseteq \mathbb{R} \ \forall t \in J(\xi) \ h \circ \phi (t, \xi) = e^{Df(x_0)t} \cdot h(\xi).

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]