Równanie różniczkowe zwyczajne

Równanie różniczkowe zwyczajne – równanie, w którym występuje jedna zmienna niezależna $t$ oraz jedna lub więcej funkcji niewiadomych i ich pochodne.

Wśród równań różniczkowych zwyczajnych równania różniczkowe liniowe odgrywają szczególną rolę – taką postać ma większość równań fizyki i matematyki stosowanej. Ponadto równania nieliniowe są trudniejsze do rozwiązania, dlatego często rozwiązuje się je w sposób przybliżony, za pomocą równań liniowych.

Uznaje się, że Lectiones mathematicae de methodo integralium Johanna Bernoulliego były pierwszym podręcznikiem na temat równań różniczkowych zwyczajnych.

Definicje

Oznaczenia

Niech $t$ oznacza zmienną niezależną, $x=x(t)$ zmienną zależną. Stosuje się różne oznaczenia na pochodne zmiennej zależnej $x=x(t)$ względem zmiennej $t$

• ${\frac {dx}{dt}},{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\dots ,{\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}$
• $x',x'',\dots ,x^{(n)}$
• ${\dot {x}},{\ddot {x}},{\overset {\dots }{x}}.$

W praktyce (jak wyżej) zazwyczaj pomija się zapisywanie argumentu przy funkcji $x$ i jej pochodnych, tzn. np. zamiast $x(t),\dots ,x^{(n)}(t)$ pisze się tylko $x,x'\dots ,x^{(n)}.$

Ogólna definicja

(1) Jeżeli $F$ jest funkcją zmiennej $t,$ zmiennej $x$ oraz pochodnych zmiennej $x,$ to równanie postaci

$F\left(t,x,x',\dots ,x^{(n-1)}\right)=x^{(n)}$

nazywa się jawnym równaniem różniczkowym rzędu $n.$

(2) Niejawnym równaniem różniczkowym rzędu $n$ nazywa się równanie postaci

$F\left(t,x,x',x'',\dots ,x^{(n)}\right)=0.$

Równanie różniczkowe liniowe rzędu n jednej zmiennej x(t)

Równanie różniczkowe nazywamy liniowym rzędu n zmiennej zależnej $x(t)$, gdy $F$ można zapisać w postaci kombinacji liniowej funkcji $x$ i jej pochodnych:

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}\,x^{(i)}+a_{0}\,x=b,$

gdzie:

• $x^{(i)}$ – pochodne rzędu $i=0,1,\dots ,n$ zmiennej zależnej $x(t)$ względem zmiennej $t,$
• $a_{i}\equiv a_{i}(t),i=0,1,\dots ,n$ oraz $b\equiv b(t)$ – różniczkowalne funkcje zmiennej $t,$ niekoniecznie liniowe.

Innymi słowy: równanie jest liniowe, gdy zmienna zależna i jej pochodne występują tylko w 1-szej potędze i nie ma wyrazów zawierających funkcje zmiennej $x$ czy funkcje jej pochodnych, np. $\sin x(t),\exp(x^{3}),\ln(x'')$ itd.

Przy tym mamy dwa istotne przypadki:

• $b(t)=0$ – wtedy równanie nazywa się jednorodnym,
• $b(t)\neq 0$ – wtedy równanie nazywa się niejednorodnym.

Przykłady:

(1) Równanie liniowe niejednorodne rzędu $n=1$

$x'-at=v$

np. równanie ruchu ciała ze stałym przyspieszeniem

(2) Równania liniowe jednorodne rzędu $n=2$

a) $m\,x''+k\,x=0$

b) $m\,x''+b\,x'+k\,x=0$

np. równaniami a) i b) opisuje się ruch harmoniczny: a) swobodny b) z tłumieniem.

Równanie różniczkowe nieliniowe rzędu n

– to równanie, które nie jest liniowe

Przykłady: Równania nieliniowe jednej zmiennej zależnej

(1) $x''+{\frac {g}{\ell }}\sin x(t)=0$

– opisuje drganie oscylatora anharmonicznego (np. wahadła matematycznego); aby równanie było liniowe, zmienna zależna powinna być w pierwszej potędze, nie w postaci funkcji $\sin x;$ dla małych drgań można dokonać przybliżenia $\sin x=x,$ dzięki czemu upraszcza się równanie do postaci liniowej

(2) $x'=3x^{2}-2t^{3}+4$

(3) $x''=x'+(2+e^{t})\,x+(1+t)\,x^{2}$

(4) $(x')^{2}=8t\,x'+5t\,x^{3}-t$

– równania (2)–(4) są nieliniowe, bo zmienna zależna nie jest w pierwszej potędze, ale w drugiej lub trzeciej; dodatkowo w równaniu (4) pochodna $x'$ jest w drugiej potędze.

Układ równań różniczkowych zwyczajnych (ODE)

Jeżeli mamy powiązanych ze sobą $m$ równań różniczkowych zwyczajnych, to tworzą one układ (ang. ordinary differential equations – ODE). Niech $\mathbf {x} (t)$ oznacza wektor, którego elementami są funkcje

$\mathbf {x} (t)=[x_{1}(t),x_{2}(t),\dots ,x_{m}(t)],$

zaś $F$ – funkcja, której wartościami są funkcje wektora $\mathbf {x} (t)$ i jego pochodnych, to

$\mathbf {x} ^{(n)}=\mathbf {F} {\big (}t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n-1)}{\big )}$

jest jawną postacią układu równań różniczkowych zwyczajnych wymiaru $m;$ w postaci macierzowej mamy

${\begin{pmatrix}x_{1}^{(n)}\\x_{2}^{(n)}\\\vdots \\x_{m}^{(n)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{1}\left(t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n-1)}\right)\\f_{2}\left(t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n-1)}\right)\\\vdots \\f_{m}\left(t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n-1)}\right)\end{pmatrix}}$

Funkcje te niekoniecznie są liniowe. W postaci niejawnej mamy

$\mathbf {F} {\big (}t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n)}{\big )}={\boldsymbol {0}},$

gdzie $\mathbf {0} =(0,0,\dots ,0)$ – wektor zerowy. W postaci macierzowej mamy

${\begin{pmatrix}f_{1}(t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n)})\\f_{2}(t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n)})\\\vdots \\f_{m}(t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n)})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}$

Całkowanie równań różniczkowych. Całki

Proces znajdowania rozwiązań równań różniczkowych nazywa się całkowaniem.

Całką nazywa się jedno równanie $x(t)$ lub zespół równań $x_{1}(t),x_{2}(t),\dots ,x_{m}(t)$ wiążących funkcje niewiadome ze zmienną niezależną $t.$ Po podstawieniu funkcji niewiadomych i ich pochodnych do danego równania różniczkowego jest ono tożsamościowo spełnione.

Uwaga: Nie należy tego pojęcia mylić z pojęciem całki, rozumianej jako pole powierzchni pod krzywą.

Przykłady

Równanie wektorowe drugiej zasady dynamiki

Tor kuli wystrzelonej z armaty jest opisany krzywą będącą rozwiązaniem układu dwóch równań różniczkowych zwyczajnych, zadających współrzędne ciała na płaszczyźnie $\mathbf {x} (t)=[x_{1}(t),x_{2}(t)].$

Równanie opisujące drugą zasadę dynamiki Newtona w przypadku ruchu ciała o stałej masie $m$ w przestrzeni 3-wymiarowej w polu wektora siły $\mathbf {F} (t)=[F_{1}(t),F_{2}(t),F_{3}(t)]$ zmiennej w czasie ma postać:

${\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}={\frac {\mathbf {F} }{m}},$

gdzie:

• $\mathbf {x} (t)=[x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t)]$ – wektor, określający położenia ciała w zależności od czasu $t.$

Jest to więc układ 3 równań różniczkowych liniowych rzędu $n=2$ trzech zmiennych $x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t),$ które są współrzędnymi ciała w przestrzeni.

Układ Lorentza

Układ Lorentza – to układ trzech nieliniowych równań różniczkowych zwyczajnych

${\begin{cases}{\dot {x}}=\sigma y-\sigma x\\{\dot {y}}=-xz+rx-y\\{\dot {z}}=xy-bz\end{cases}},$

gdzie: $\sigma ,$ $r,$ $b$ – stałe parametry; tutaj oznaczono: $x_{1}\equiv x(t),x_{2}\equiv y(t),x_{3}\equiv z(t);$ $t$ ma sens czasu.

Układ ten modeluje zjawisko konwekcji termicznej w atmosferze; badanie tego układu doprowadziło do odkrycia zjawiska chaosu deterministycznego.

Oprogramowanie do rozwiązywania ODE

Bezpłatne:

• GNU Octave, oprogramowanie przeznaczone do obliczeń numerycznych, odpowiednik środowiska MATLAB.
• GNU R, środowisko obliczeniowe zawiera pakiet do rozwiązywania ODE.
• Julia (język programowania), język wysokiego poziomu, elastyczny, do szeregu obliczeń numerycznych, o rosnącej liczbie użytkowników.
• Maxima, system algebry komputerowej.
• SageMath, środowisko obliczeniowe używa składni podobnej do języka Python, umożliwiająca obliczenia w zakresie wielu gałęzi matematyki.
• Scilab, aplikacje do obliczeń numerycznych.
• Chebfun, pakiet oprogramowania napisany w MATLAB, do obliczeń z dokładnością do 15 cyfr znaczących.
• COPASI, pakiet oprogramowania do całkowania i analizy ODE.
• SciPy, pakiet języka Python, zawierający moduł całkowania ODE.
• SymPy, pakiet języka Python, który może rozwiązywać ODE symbolicznie.

Płatne:

• Mathematica, aplikacja początkowo przeznaczona do obliczeń symbolicznych.
• Maple, aplikacja do obliczeń symbolicznych.
• MATLAB, aplikacje obliczeniowe (skrót od słów MATrix LABoratory).

Zobacz też

• równanie różniczkowe cząstkowe
• algorytm Rungego-Kutty – numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych

Bibliografia

• I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny. Matematyka, PWN, Warszawa 2010, s. 509–549 – równania różniczkowe zwyczajne, s. 549–573 – równania różniczkowe cząstkowe.
• R.S. Guter, A.R. Janpolski, Równania różniczkowe, PWN, Warszawa 1980.
• W.I. Smirnow, Matematyka wyższa, tom II, PWN, Warszawa 1966, s. 7–165 – równania różniczkowe zwyczajne oraz s. 464-607 – równania różniczkowe cząstkowe.
• Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.

Linki zewnętrzne

• Differential equation, ordinary (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].