Równanie różniczkowe zwyczajne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie różniczkowe zwyczajne to równanie, w którym występują stałe, funkcje niewiadome oraz pochodne funkcji niewiadomych. W równaniach różniczkowych zwyczajnych funkcje niewiadome zależą od jednej zmiennej niezależnej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Równanie postaci:

 F(x,y(x),y'(x),y''(x),\dots,y^{(n)}(x)) = 0 gdzie:

  •  F: D \subset \mathbb{R}^{n+2} \rightarrow \mathbb{R} jest zadaną funkcją,
  •  y',y'',\dots,y^{(n)} to kolejne pochodne szukanej funkcji

nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n.

Powyższe równanie daje się często zapisać w innej postaci:

 y^{(n)}(x) = f(x,y(x),y'(x),y''(x),\dots,y^{(n-1)}(x))

gdzie  f: D \subset \mathbb{R}^{n+1} \rightarrow \mathbb{R}.

W praktyce bardzo często pomija się zapisywanie argumentu przy funkcji y tzn. zamiast y(x),y^{(n)}(x)\, pisze się tylko y,y^{(n)}\,.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Tor kuli wystrzelonej z armaty naśladuje krzywą opisywaną przez zwyczajne równanie różniczkowe pochodne drugiemu prawu Newtona.

Prostym przykładem może być drugie prawo Newtona opisujące ruch ciała o stałej masie m:

F(x(t))\ = m \frac{d^2 x(t)}{dt^2}

gdzie siła F zależy od położenia ciała x(t) w czasie t, a nieznana funkcja x(t) pojawia się po obu stronach równania, co widać w zapisie F(x(t)).

Inne przykady:

  • y' = 3y^2 -2x^3 + 4\,
  • \frac{y}{1+x} + y' + (1 + x)y^4 + 3y'' = 0
  • \left(\frac{dy}{dx}\right)^2-8x\frac{dy}{dx}+5xy^3 - x =0 w zapisie alternatywnym:  (y')^2 + 8xy' + 5xy^3 - x= 0\,
  • 8 d^2y = dx\,

Dodatkowe informacje[edytuj | edytuj kod]

Proces znajdowania rozwiązań równań różniczkowych nazywa się całkowaniem. Całką nazywa się jedno lub kilka równań wiążących funkcje niewiadome ze zmiennymi niezależnymi w taki sposób, że po podstawieniu funkcji niewiadomych i ich pochodnych do danego równania różniczkowego jest ono tożsamościowo spełnione.

Rozwiązaniem równania różniczkowego nazywamy całkę wyrażającą w sposób jawny zależność funkcji niewiadomych od zmiennych niezależnych.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]