Równanie funkcyjne

Równanie funkcyjne – równanie, w którym niewiadomą jest funkcja.

Równanie Cauchy'ego

Ważnym przykładem równania funkcyjnego jest równanie Cauchy'ego $f(x + y)= f(x) + f(y)$. Cauchy rozwiązał następujące równania funkcyjne w dziedzinie funkcji ciągłych.

Twierdzenie Cauchy'ego o rozwiązaniach ciągłych równania $\mathbf{f(x + y)= f(x)+f(y)}$. Jedynymi ciągłymi rozwiązaniami równania $f(x + y)= f(x) + f(y)$ są funkcje liniowe $f(x)=ax$.

Dowód. Na początek zauważmy dwie rzeczy. Stosując prostą indukcję można pokazać, że $f(x_1+\dots+ x_n)=f(x_1)+\dots+f(x_n)$. Zauważmy dalej, że $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$, czyli $f(0)=0$.

Niech teraz $a=f(1)$. Pokażemy, że równość $f(x)=ax$ zachodzi, gdy $x$ jest liczbą naturalną, całkowitą, wymierną, a w końcu rzeczywistą. Mamy

$f(n)=f(\underbrace{1+\dots+1}_n)=\underbrace{f(1)+\dots+f(1)}_n=an$

dla każdego $n\in\mathbb{N}$.

Dalej $f(n)+f(-n)=f(n+(-n))=f(0)=0$, czyli $f(-n)=-f(n)=a(-n)$. To oznacza, że $f(x)=ax$ dla każdego $x\in\mathbb{Z}$, gdzie $\mathbb{Z}$ oznacza zbiór liczb całkowitych.

Dalej mamy

$a=f(1)=f\Big(\underbrace{\frac{1}{n}+\dots+\frac{1}{n}}_n\Big)=\underbrace{f\Big(\frac{1}{n}\Big)+\dots+f\Big(\frac{1}{n}\Big)}_n$,

co daje $f(\frac{1}{n})=a\frac{1}{n}$. Niech teraz $\frac{m}{n}$ będzie dowolną liczbą wymierną. Wówczas

$f\Big(\frac{m}{n}\Big)=f\Big(\underbrace{\frac{1}{n}+\dots+\frac{1}{n}}_m\Big)=\underbrace{f\Big(\frac{1}{n}\Big)+\dots+f\Big(\frac{1}{n}\Big)}_m=a\cdot\frac{m}{n}$.

Zatem równość $f(x)=ax$ została pokazana dla każdej liczby wymiernej $x\in\mathbb{Q}$.

Z ciągłości funkcji $f$ wynika równość $f(x)=ax$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\in\mathbb{R}$.

Twierdzenie Cauchy'ego o rozwiązaniach ciągłych równania $\mathbf{f(x + y)= f(x)f(y)}$. Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania $f(x + y)= f(x)f(y)$ są funkcje wykładnicze $f(x)=a^x$.

Twierdzenie Cauchy'ego o rozwiązaniach ciągłych równania $\mathbf{f(xy)= f(x)+f(y)}$. Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania $f(xy)= f(x)+f(y)$ są funkcje logarytmiczne $f(x)=\log_ax$.

Twierdzenie Cauchy'ego o rozwiązaniach ciągłych równania $\mathbf{f(xy)= f(x)f(y)}$. Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania $f(xy)= f(x)f(y)$ są funkcje potęgowe $f(x)=x^a$.

Twierdzenie Cauchy'ego o rozwiązaniach ciągłych równania $\mathbf{f(x+y)+f(y-x)= 2f(x)f(y)}$. Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania $f(x+y)+f(y-x)= 2f(x)f(y)$ są funkcje cosinus $f(x)=\cos x$ i cosinus hiperboliczny $f(x)=\cosh x$.

Przykłady

• Wszystkie równania różniczkowe i równania całkowe.
• Równanie $f(x + y)= f(x) + f(y)$ spełniają funkcje addytywne.
• Równania $f(x) = f(-x)$ oraz $f(x) = -f(-x)$ spełniają odpowiednio funkcje funkcje parzyste i nieparzyste.
• Znajdźmy wszystkie funkcje $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ dla których $f(x+y)^2 = f(x)^2 + f(y)^2$.

  Podstawiając $x=y=0$ otrzymujemy $f(0)^2 = 2f(0)^2$, czyli $f(0) = 0$.

  Niech $y=-x$, wówczas

  $0 = f(0)^2 = f(x - x)^2 = f(x)^2 + f(-x)^2$

  Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, a suma liczb nieujemnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy obie te liczby są równe zeru, więc równość $f(x) = 0$ jest spełniona dla każdego $x$. Zatem jedyną funkcją spełniającą dane równanie funkcyjne jest $f(x) = 0$.

• Równania rekurencyjne: jedynym ciągiem spełniającym warunki $a_1 = 1, a_{n+1} = (n+1)a_n$ jest ciąg $a_n = n!$.
• Użycie układu równań funkcyjnych w alternatywnej definicji funkcji trygonometrycznych.

Bibliografia

• J. Aczél, J. Dhombres, Functional equations in several variables, Cambridge University Press, Cambridge, 1989.
• J. Aczél, S. Gołąb, Funktionalgleichungen der Theorie der Geometrischen Objekte, PWN Warszawa, 1960.
• J. Dhombres, Some aspects of functional equations, Chulalongkorn Univ., Bangkok, 1979.
• G. M. Fichtenholtz, Rachunek różniczkowy i całkowy, Tom 1, PWN, Warszawa, 1999
• D. Ilse, I. Lehman, W. Schulz, Gruppoide und Funktionalgleichungen, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1984.
• M. Kuczma, An introduction to the theory of functional equations and inequalities, Polish Scientific Publishers & Silesian University, Warszawa-Kraków-Katowice, 1985.