Równanie funkcyjne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie funkcyjnerównanie, w którym niewiadomą jest funkcja.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Równanie Cauchy'ego[edytuj | edytuj kod]

Ważnym przykładem równania funkcyjnego jest równanie Cauchy'ego f(x + y)= f(x) + f(y). Cauchy rozwiązał następujące równania funkcyjne w dziedzinie funkcji ciągłych.

Twierdzenie Cauchy'ego o rozwiązaniach ciągłych równania \mathbf{f(x + y)= f(x)+f(y)}. Jedynymi ciągłymi rozwiązaniami równania f(x + y)= f(x) + f(y)funkcje liniowe f(x)=ax.

Dowód. Na początek zauważmy dwie rzeczy. Stosując prostą indukcję można pokazać, że f(x_1+\dots+ x_n)=f(x_1)+\dots+f(x_n). Zauważmy dalej, że f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0), czyli f(0)=0.

Niech teraz a=f(1). Pokażemy, że równość f(x)=ax zachodzi, gdy x jest liczbą naturalną, całkowitą, wymierną, a w końcu rzeczywistą. Mamy

f(n)=f(\underbrace{1+\dots+1}_n)=\underbrace{f(1)+\dots+f(1)}_n=an

dla każdego n\in\mathbb{N}.

Dalej f(n)+f(-n)=f(n+(-n))=f(0)=0, czyli f(-n)=-f(n)=a(-n). To oznacza, że f(x)=ax dla każdego x\in\mathbb{Z}, gdzie \mathbb{Z} oznacza zbiór liczb całkowitych.

Dalej mamy

a=f(1)=f\Big(\underbrace{\frac{1}{n}+\dots+\frac{1}{n}}_n\Big)=\underbrace{f\Big(\frac{1}{n}\Big)+\dots+f\Big(\frac{1}{n}\Big)}_n,

co daje f(\frac{1}{n})=a\frac{1}{n}. Niech teraz \frac{m}{n} będzie dowolną liczbą wymierną. Wówczas

f\Big(\frac{m}{n}\Big)=f\Big(\underbrace{\frac{1}{n}+\dots+\frac{1}{n}}_m\Big)=\underbrace{f\Big(\frac{1}{n}\Big)+\dots+f\Big(\frac{1}{n}\Big)}_m=a\cdot\frac{m}{n}.

Zatem równość f(x)=ax została pokazana dla każdej liczby wymiernej x\in\mathbb{Q}.

Z ciągłości funkcji f wynika równość f(x)=ax dla każdej liczby rzeczywistej x\in\mathbb{R}.

Twierdzenie Cauchy'ego o rozwiązaniach ciągłych równania \mathbf{f(x + y)= f(x)f(y)}. Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania f(x + y)= f(x)f(y)funkcje wykładnicze f(x)=a^x.

Twierdzenie Cauchy'ego o rozwiązaniach ciągłych równania \mathbf{f(xy)= f(x)+f(y)}. Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania f(xy)= f(x)+f(y)funkcje logarytmiczne f(x)=\log_ax.

Twierdzenie Cauchy'ego o rozwiązaniach ciągłych równania \mathbf{f(xy)= f(x)f(y)}. Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania f(xy)= f(x)f(y)funkcje potęgowe f(x)=x^a.

Twierdzenie Cauchy'ego o rozwiązaniach ciągłych równania \mathbf{f(x+y)+f(y-x)= 2f(x)f(y)}. Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania f(x+y)+f(y-x)= 2f(x)f(y) są funkcje cosinus f(x)=\cos x i cosinus hiperboliczny f(x)=\cosh x.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • J. Aczél, J. Dhombres, Functional equations in several variables, Cambridge University Press, Cambridge, 1989.
  • J. Aczél, S. Gołąb, Funktionalgleichungen der Theorie der Geometrischen Objekte, PWN Warszawa, 1960.
  • J. Dhombres, Some aspects of functional equations, Chulalongkorn Univ., Bangkok, 1979.
  • G. M. Fichtenholtz, Rachunek różniczkowy i całkowy, Tom 1, PWN, Warszawa, 1999
  • D. Ilse, I. Lehman, W. Schulz, Gruppoide und Funktionalgleichungen, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1984.
  • M. Kuczma, An introduction to the theory of functional equations and inequalities, Polish Scientific Publishers & Silesian University, Warszawa-Kraków-Katowice, 1985.