Równanie funkcyjne

Równanie funkcyjne – równanie, w którym niewiadomą jest funkcja.

Przykłady

• Wszystkie równania różniczkowe i równania całkowe.
• Równanie $f(x + y)= f(x) + f(y)$ spełniają funkcje addytywne.
• Równania $f(x) = f(-x)$ oraz $f(x) = -f(-x)$ spełniają odpowiednio funkcje funkcje parzyste i nieparzyste.
• Znajdźmy wszystkie funkcje $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ dla których $f(x+y)^2 = f(x)^2 + f(y)^2$.

  Podstawiając $x=y=0$ otrzymujemy $f(0)^2 = 2f(0)^2$, czyli $f(0) = 0$.

  Niech $y=-x$, wówczas

  $0 = f(0)^2 = f(x - x)^2 = f(x)^2 + f(-x)^2$

  Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, a suma liczb nieujemnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy obie te liczby są równe zeru, więc równość $f(x) = 0$ jest spełniona dla każdego $x$. Zatem jedyną funkcją spełniającą dane równanie funkcyjne jest $f(x) = 0$.

• Równania rekurencyjne: jedynym ciągiem spełniającym warunki $a_1 = 1, a_{n+1} = (n+1)a_n$ jest ciąg $a_n = n!$.
• Użycie układu równań funkcyjnych w alternatywnej definicji funkcji trygonometrycznych.

Bibliografia

• J. Aczél, J. Dhombres, Functional equations in several variables, Cambridge University Press, Cambridge, 1989.
• J. Aczél, S. Gołąb, Funktionalgleichungen der Theorie der Geometrischen Objekte, PWN Warszawa, 1960.
• J. Dhombres, Some aspects of functional equations, Chulalongkorn Univ., Bangkok, 1979.
• D. Ilse, I. Lehman, W. Schulz, Gruppoide und Funktionalgleichungen, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1984.
• M. Kuczma, An introduction to the theory of functional equations and inequalities, Polish Scientific Publishers & Silesian University, Warszawa-Kraków-Katowice, 1985.