Koniunkcja (logika)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Koniunkcjazdanie złożone mające postać p i q, gdzie p, q są zdaniami. W rachunku zdań koniunkcję zapisuje się symbolicznie jako: Przez koniunkcję rozumie się też zdanie mające postać i... i Koniunkcję można zdefiniować precyzyjniej jako dwuargumentowe działanie określone w zbiorze zdań lub funkcji zdaniowych, które zdaniom p, q przyporządkowuje zdanie p i q[1][2]. Koniunkcja dwóch zdań p i q jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania p, q są zdaniami prawdziwymi[1][2]. Niekiedy słowo koniunkcja odnosi się również do spójnika.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie dwuelementowym zbiorem wartości logicznych: Koniunkcja jest funkcją dwuargumentową ze zbioru w zbiór [a], określoną następująco:

[3]

lub równoważnie

[1][3].

Działanie to pozostaje w ścisłym związku z działaniem iloczynu zbiorów (patrz algebra zbiorów). Dlatego zdanie utworzone z innych zdań za pomocą koniunkcji jest też nazywane iloczynem logicznym, a jego zdania składowe nazywane są czynnikami koniunkcji. Koniunkcja dwóch zdań p i q jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy oba jej czynniki p, q są zdaniami prawdziwymi[1][2].

Tablica prawdy dla koniunkcji[2]:
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

gdzie: 1 – zdanie prawdziwe, 0 – fałszywe

Oznaczenia[edytuj | edytuj kod]

Zestawienie symboli koniunkcji, stosowanych przez różnych autorów[4][5]:

Schröder
Peirce
Peano
Russell
Hilbert Łukasiewicz
Koniunkcja

Do oznaczenia koniunkcji stosowany jest także angielski spójnik AND (symbol funkcji boolowskiej).

Własności[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: prawa rachunku zdań.

Koniunkcja jest operacją dwuargumentową i charakteryzuje się następującymi cechami:

[6][7]
[6][7]
[8]
[6][7]
[9]
Negacja koniunkcji jest równoważna alternatywie negacji, natomiast negacja alternatywy – koniunkcji negacji[10].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Koniunkcja jest fałszywa, gdyż wartość logiczna zdania drugiego to 0 (fałsz), a jak wynika z tablicy prawdy koniunkcja jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba warunki są spełnione (to znaczy oba zdania składowe posiadają wartość logiczną równą 1, czyli „prawda”).
  • Koniunkcja jest prawdziwa, gdyż oba zdania mają wartość logiczną równą 1 (prawda).
  • Krzyś lubi pomarańcze”; „Krzyś lubi jabłka” – Koniunkcja „Krzyś lubi pomarańcze i jabłka” (prawda)
  • Krzyś NIE lubi pomarańczy”; „Krzyś lubi jabłka” – Koniunkcja „Krzyś lubi pomarańcze i jabłka” (fałsz)

Koniunkcja binarna[edytuj | edytuj kod]

Uproszczony schemat bramki logicznej AND.

W informatyce operację koniunkcji binarnej (ang. bitwise AND) stosuje się do par liczb naturalnych wykonując operacje na cyfrach zapisów binarnych tych liczb. Wynik zawiera jedynki na tych pozycjach, na których w obydwu ciągach występowała jedynka, na przykład:

14 & 4
= 0001110 & 0000100   (liczby w systemie binarnym)
= 0000100 (efekt operacji na kolejnych cyfrach)
= 4 (wynik w postaci dziesiętnej)

W fizycznych układach logicznych funkcji koniunkcji odpowiada bramka logiczna AND (iloczyn bitowy).

Koniunkcja a język naturalny[edytuj | edytuj kod]

Symbol odpowiada zasadniczo spójnikowi i (a także jego synonimom: oraz i tudzież). Słowo i może jednak posiadać dodatkowe odcienie znaczeniowe, których koniunkcja logiczna nie uwzględnia.

Spójnik i może sugerować wzajemność: Alicja i Bob rozmawiali przez telefon nie oznacza dokładnie tego samego, co Alicja rozmawiała przez telefon i Bob rozmawiał przez telefon[11].

Słowo i może także oznaczać następstwo czasowe (i następnie) lub związek przyczynowo-skutkowy (i w wyniku tego). Zdanie Mary wyszła za mąż i urodziła dziecko opisuje inną sytuację, niż Mary urodziła dziecko i wyszła za mąż[12]. Podobnie różnią się znaczeniem zdania Tom wziął się do roboty i znalazł wreszcie pracę oraz Tom znalazł wreszcie pracę i wziął się do roboty[11].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Jest to jedna ze stosowanych definicji. Częściej jednak przyjmuje się, że koniunkcja jest działaniem w zbiorze zdań lub funkcji zdaniowych (stąd nazwa: funktor zdaniotwórczy).

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c d Mostowski 1948 ↓, s. 8.
  2. a b c d Rasiowa 1975 ↓, s. 163.
  3. a b Ross i Wright 1996 ↓, s. 588.
  4. Mostowski 1948 ↓, s. 13.
  5. Rasiowa 1975 ↓, s. 170.
  6. a b c Mostowski 1948 ↓, s. 28.
  7. a b c Rasiowa 1975 ↓, s. 196.
  8. Mostowski 1948 ↓, s. 29.
  9. Rasiowa 1975 ↓, s. 195.
  10. Mostowski 1948 ↓, s. 27.
  11. a b Strawson 1952 ↓, s. 80.
  12. Kleene 1967 ↓, s. 64.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]