Algebra topologiczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Algebra topologiczna - przestrzeń liniowo-topologiczna z dodatkowym działaniem, nazywanym najczęściej mnożeniem, wraz z którym jest ona algebrą oraz działanie to jest ciągłe względem oryginalnej topologii. Niektórzy autorzy zakładają dodatkowo, że wyjściowa topologia musi spełniać warunek T1.

Do typowych przykładów algebr topologicznych należą algebry Banacha (jak, na przykład, C*-algebry, algebry von Neumanna, czy ogólniej algebry unormowane). Założenie ciągłości mnożenia jest stosunkowo silne - w przeciwieństwie do rzeczywistych czy zespolonych przestrzeni liniowych, w których zawsze można wprowadzić normę - istnieją algebry, które nie są topologizowalne, tzn. takie w których nie istnieje topologia typu T1 względem której wszystkie działania algebry są ciągłe[1][2][3][4].

Gdy X jest nieskończenie wymiarową przestrzenią Banacha, to rodzina wszystkich opereratorów liniowych i ograniczonych na X z mocną topologią operatorową (tzw. SOT) bądź ze słabą topologią operatorową (tzw. WOT) nie jest algebrą topologiczną (mnożenie - w tym wypadku działanie składania operatorów - nie jest ciągłe).

Przypisy

  1. V. Müller, On topologizable algebras, Studia Math. 99 (1991), ss. 149–153.
  2. W. Żelazko, Example of an algebra which is non-topologizable as a locally convex algebra, Proceedings of the American Mathematical Society 110 (1990), ss. 947–949.
  3. R. Frankiewicz, G. Plebanek, An example of a non-topologizable algebra, Studia. Math., 116. (1995), ss. 85–87.
  4. W. Żelazko, Concerning topologization of real or complex algebras, Colloq. Math. 71 (1996), ss. 111-113.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Clarendon Press, Oxford, 2000
  • W. Żelazko, Selected topics in topological algebras, Aarhus University Lecture Notes, vol. 31, 1971