Algebra Banacha

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Algebra Banachaprzestrzeń Banacha z określonym dodatkowym działaniem mnożenia wraz z którym tworzy algebrę nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych oraz spełnia warunek

dla wszystkich jej elementów . Definicja ta ma również sens dla przestrzeni unormowanych, które niekoniecznie są zupełne – w takim przypadku mówi się o algebrach unormowanych. Jeżeli działanie mnożenia jest przemienne to mówi się odpowiednio o przemiennych algebrach unormowanych i przemiennych algebrach Banacha.

W ogólnym przypadku, algebra nad ciałem liczb zespolonych może nie mieć jedynki – skrajnym przykładem jest dowolna przestrzeń liniowa z mnożeniem określonym wzorem dla dowolnych (jeżeli jest przestrzenią Banacha, to jest ona przykładem algebry Banacha, w której jedynka nie może być aproksymowana – tzn. nie istnieje ciąg o wyrazach z przestrzeni A o tej własności, że dla każdej liczby naturalnej n oraz

.

Pojęcie algebry Banacha wprowadził w 1936 roku Mitio Nagumo[1].

Przykłady[edytuj]

  • Niech X lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa oraz niech C0(X) oznacza algebrę funkcji ciągłych o wartościach skalarnych, które znikają w nieskończności, tj. takich funkcji ciągłych f, że dla każdego ε > 0 zbiór
jest zwarty. W przypadku, gdy przestrzeń X jest zwarta, każda funkcja ciągła na X spełnia ten warunek, skąd przyjmuje się oznaczenie C(X). Algebra C0(X) z normą supremum:
jest przemienną algebrą Banacha, która ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń X jest zwarta (jedynką jest wówczas funkcja stale równa 1).
  • Przykładem skończenie wymiarowej algebry Banacha jest przestrzeń Mn macierzy kwadratowych stopnia n z działaniem zwykłego mnożenia macierzy i dowolną normą macierzową, np. daną wzorem
jest algebrą Banacha z jedynką (jedynką jest w tym wypadku operator identycznościowy). Algebra ta jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy dim E ≤ 1.
  • Niech oznacza przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a na prostej z mnożeniem określonym przez splot, tj.
    .
Jest to przykład algebry Banacha bez jedynki, którą jednak można aproksymować w takim sensie, iż istnieje ciąg o wyrazach z przestrzeni o tej własności, że dla każdej liczby naturalnej n oraz
dla każdej funkcji . Ogólniej, dla każdej lokalnie zwartej grupy topologicznej Hausdorffa z określoną na niej miarą Haara przestrzeń funkcji -całkowalnych na G z działaniem mnożenia splotowego określonego niżej jest algebrą Banacha:
Algebra L1(G) ma jedynę wtedy i tylko wtedy, gdy grupa G jest dyskretna.

Przemienne algebry Banacha[edytuj]

Podstawowym przykładem przemiennej algebry Banacha jest algebra C0(X) funkcji ciągłych o własnościach skalarnych na lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa X, które znikają w nieskończoności. Jeżeli A jest przemienną algebrą Banacha to rodzina jej maksymalnych ideałów modularnych z topologią Gelfanda jest (możliwie pustą) przestrzenią lokalnie zwartą Hausdorffa. Transformata Gelfanda

jest ciągłym homomorfizmem, który jest różnowartościowy i ma gęsty obraz w przypadku, gdy A jest pół-prosta w sensie Jacobsona, tj. gdy niezerowe funkcjonały liniowo-multyplikatywne oddzielają punkty w A.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  1. William Arveson: A Short Course on Spectral Theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2001.

Przypisy

  1. Nagumo, Mitio: Einige analytische Untersuchunger in linearen metrischen Ringen, Japan J. Math. 13 (1936), ss. 61-80.