Algebra Banacha

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Algebra Banachaprzestrzeń Banacha z określonym dodatkowym działaniem mnożenia wraz z którym tworzy ona algebrę nad ciałem liczb rzeczywistych (algebrę rzeczywistą) bądź zespolonych (algebrę zespoloną) i w której norma jest podmultyplikatywna, tj.

Definicja ta ma również sens dla przestrzeni unormowanych, które niekoniecznie są zupełne – w takim przypadku mówi się o algebrach unormowanych. Jeżeli działanie mnożenia jest przemienne to mówi się odpowiednio o przemiennych algebrach unormowanych i przemiennych algebrach Banacha.

Istnieją zasadnicze różnice w teorii zespolonych i rzeczywistych algebr Banacha wynikające z gorszych własności spektralnych tych drugich, skąd klasyczna teoria algebr Banacha dotyczy głównie zespolonych algebr Banacha. W analizie p-adycznej rozważa się również zdefiniwane podobnie jak wyżej algebry Banacha nad ciałem liczb p-adycznych (bądź innym ciałem z waluacją), jednak zwykle teorii tej nie zalicza się do teorii algebr Banacha. W niniejszym artykule rozważane będą głównie zespolone algebry Banacha.

Nazwa algebra Banacha została wprowadzona w 1945 przez Warrena Ambrose'a[1].

Jedynka w algebrze Banacha[edytuj]

Definicja algebry Banacha nie wymaga by miała ona jedynkę, tj. element neutralny względem mnożenia. Skrajnym przykładem algebry Banacha bez jedynki jest dowolna przestrzeń Banacha A z trywialnym mnożeniem, tj. a · b = 0 (a, bA). Każdą algebrę Banacha A można jednak rozszerzyć o jedynkę do większej algebry Banacha (tj. zbudować jej ujedynkowienie) w taki sposób by A była izometryczna z ideałem o kowymiarze 1 w ujedynkowieniu. Dokładniej, w sumie prostej A ⊕ ℂ wprowadza się działanie mnożenia wzorem

wraz z którą jest ona algebrą. Algebra ta jest algebrą Banacha z normą

[2]

Powyższe konstrukcję mają również sens dla rzeczywistych algebr Banacha; należy jedynie zastąpić wszędzie ℂ przez ℝ.

Ciągłość mnożenia w algebrze Banacha[edytuj]

W algebrze Banacha operacja mnożenia jest ciągła. Jest to warunek charakteryzujący algebry będące jednocześnie przestrzeniami Banacha co do przenormowania. Dokładniej, jeżeli A jest taką algebrą, która jest przestrzenią Banacha z normą | · | oraz mnożenie w niej jest ciągłe ze względu na każdą ze zmiennych, to istnieje norma równoważna na A wraz z którą A jest algebrą Banacha. Na przykład funkcja

jest normą równoważną normie | · | oraz jest podmultyplikatywna, tj. A wyposażona w tę normę jest algebrą Banacha[3].

Przykłady[edytuj]

  • Niech X lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa oraz niech C0(X) oznacza algebrę funkcji ciągłych o wartościach skalarnych, które znikają w nieskończności, tj. takich funkcji ciągłych f, że dla każdego ε > 0 zbiór
jest zwarty. W przypadku, gdy przestrzeń X jest zwarta, każda funkcja ciągła na X spełnia ten warunek, skąd przyjmuje się oznaczenie C(X). Algebra C0(X) z normą supremum:
jest przemienną algebrą Banacha, która ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń X jest zwarta (jedynką jest wówczas funkcja stale równa 1).
jest algebrą Banacha z jedynką (jedynką jest w tym wypadku operator identycznościowy). Algebra ta jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy dim E ≤ 1.
  • Niech oznacza przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a na prostej z mnożeniem określonym przez splot, tj.
    .
Jest to przykład algebry Banacha bez jedynki, którą jednak można aproksymować w takim sensie, iż istnieje ciąg o wyrazach z przestrzeni o tej własności, że dla każdej liczby naturalnej n oraz
dla każdej funkcji . Ogólniej, dla każdej lokalnie zwartej grupy topologicznej Hausdorffa z określoną na niej miarą Haara przestrzeń funkcji -całkowalnych na G z działaniem mnożenia splotowego określonego niżej jest algebrą Banacha:
Algebra L1(G) ma jedynę wtedy i tylko wtedy, gdy grupa G jest dyskretna.

Otwartość grupy elementów odwracalnych a ciągłość operacji brania elementu odwrotnego[edytuj]

Niech A będzie (rzeczywistą bądź zespoloną) algebrą Banacha z jedynką 1. Zbiór GL(A) złożony ze wszystkich elementów odwracalnych w A jest niepusty, gdyż zawiera 1 oraz jest grupą z mnożeniem dziedziczonym z A. Jeżeli aA oraz

,

to a ∈ GL(A). Ponadto,

[4]
Dowód. Niech M < N będą liczbami naturalnymi. Wówczas
Ponieważ prawa strona powyższej nierówności jest zbieżna do 0, ciąg sum częściowych ciągu (1 - a)k jest ciągiem Cauchy'ego, a więc jest on zbieżny do pewnego elementu bA (z zupełności A), tj.
Ponadto,
oraz
ponieważ δ < 1. Pokazuje to, że b = a-1. Co więcej,

Z powyższego wynika, że grupa GL(A) jest otwarta (w topologii pochodzącej od normy A)[5].

Dowód. Niech uA będzie elementem odwracalnym oraz niech aA będzie dowolne. Wówczas W przypadku gdy element a jest również odwracalny ponieważ
więc element element u-1a (a więc i samo a) jest odwracalny.

Ostatecznie, funkcja

jest ciągła, tj. GL(A) jest grupą topologiczną[6].

Dowód. Niech a, b ∈ GL(A). Jeżeli to
Stąd
.
Ostatecznie
co dowodzi ciągłości operacji brania elementu odwrotnego.

Ideały i ilorazowe algebry Banacha[edytuj]

Niech A będzie algebrą Banacha oraz niech I będzie domkniętym ideałem dwustronnym. W szczególności, I jest domkniętą podprzestrzenią liniową, więc przestrzeń ilorazowa A / I jest przestrzenią Banacha. Ponieważ I jest ideałem dwustronnym, A / I jest również algebrą. Algebra ta jest algebrą Banacha, tj. norma ilorazowa jest podmultyplikatywna.

Dowód. Niech a, bA. Wówczas
Powyższa nierówność kończy dowód, ponieważ każdy element A / I jest postaci a + I dla pewnego aA[7].

Z ciągłości działań w algebrze Banacha wynika, że jeżeli I jest dowolnym ideałem w A, to jego domknięcie też jest ideałem w A.

Przykłady[edytuj]

  • Niech X będzie zwartą przestrzenią Hausdorffa. Wówczas każdy domknięty ideał I w C(X) jest postaci
dla pewnego zwartego podzbioru KX. Algebra ilorazowa C(X) / I jest wówczas izometrycznie izomorficzna jako algebra Banacha z C0(X \ K).[8][9]
  • Dla każdej przestrzeni Banacha E, zbiór K(E) złożony ze wszystkich operatorów zwartych na E jest domkniętym ideałem w B(E). Algebra ilorazowa B(E) / K(E) bywa nazywana algebrą Calkina przestrzeni E (czasami nazwa ta jest rezerwowana dla przypadku, gdy E jest ośrodkową przestrzenią Hilberta[10]).

Przemienne algebry Banacha[edytuj]

Podstawowym przykładem przemiennej algebry Banacha jest algebra C0(X) funkcji ciągłych o własnościach skalarnych na lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa X, które znikają w nieskończoności. Jeżeli A jest przemienną algebrą Banacha to rodzina jej maksymalnych ideałów modularnych z topologią Gelfanda jest (możliwie pustą) przestrzenią lokalnie zwartą Hausdorffa. Transformata Gelfanda

jest ciągłym homomorfizmem, który jest różnowartościowy i ma gęsty obraz w przypadku, gdy A jest pół-prosta w sensie Jacobsona, tj. gdy niezerowe funkcjonały liniowo-multyplikatywne oddzielają punkty w A.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

Bibliografia[edytuj]

  1. William Arveson: A Short Course on Spectral Theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2001.
  2. Ronald G. Douglas: Banach Algebra Techniques in Operator Theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1998.
  3. Eberhard Kaniuth: A Course in Commutative Banach Algebras. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2009, seria: Grad. Texts in Math., vol. 246.
  4. Richard V. Kadison, John. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Elementary Theory. Nowy Jork: Academic Press, 1983.