Działanie (fizyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Zobacz też: inne znaczenia słowa „działanie”.

Działanie – podstawowe pojęcie mechaniki teoretycznej. Wyraża się w jednostkach iloczynu energii i czasu bądź pędu i drogi. Działanie to całka lagranżjanu układu między dwoma stanami:

Obowiązuje wariacyjna zasada najmniejszego działania analogiczna do zasady najmniejszego czasu.

Funkcja działania to całka dana wzorem:

.
gdzie to współrzędne uogólnione, a to ekstremala łącząca punkty i . Definicja ta ma sens pod warunkiem, że ekstremale wychodzące z punktu więcej się nie przecinają.

Funkcja działania spełnia równanie Hamiltona-Jacobiego[1].

Równania Eulera-Lagrange'a[edytuj | edytuj kod]

Równania Eulera–Lagrange'a otrzymuje się z warunku, że pochodne funkcjonalne działania względem funkcji zerują się, tj.

co implikuje równanie Eulera-Lagrange’a:

którego rozwiązaniem są funkcje dla których jest stacjonarne. To znaczy, że dla niewielkich odchyleń od zmienia się nieznacznie. Jest to warunkiem koniecznym, żeby przyjmowało dla ekstremum.

Przykład: Cząstka swobodna[edytuj | edytuj kod]

Cząstka swobodna o masie m, mająca prędkość v porusza się w przestrzeni Euklidesa po prostej. Wykażemy to korzystając z równań Eulera–Lagrange'a zapisanych we współrzędnych biegunowych.

(1) Dla cząstki swobodnej potencjał jest zerowy, dlatego Lagrangian jest równy energii kinetycznej. We współrzędnych (x, y) ma on postać

gdzie kropka oznacza różniczkownie po parametrze, zadającym krzywą. Zwykle jest to czas.

(2) We współrzędnych biegunowych Lagrangian ma postać:

Równania Eulera-Lagrange'a separują się na dwa równania, zależne od współrzędnej radialnej r oraz kąta φ

(3) Rozwiązania tych równań mają postać:

gdzie a, b, c, d - stałe zależne od warunków początkowych. Rozwiązane to przedstawia linie prostą we współrzędnych biegunowych.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. W. I. Arnold: Metody matematyczne mechaniki klasycznej. Warszawa: PWN, 1981, s. 231-233. ISBN 83-01-00143-7.