Równanie Hamiltona-Jacobiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Równanie Hamiltona-Jacobiego – postać równań ruchu, którą można utworzyć na podstawie hamiltonianu.

Ma ono postać równania różniczkowego cząstkowego na funkcję działania S[1]:

H \left( q_1, q_2, \ldots, q_f, \frac{\partial S}{\partial q_1}, \frac{\partial S}{\partial q_2}, \ldots, \frac{\partial S}{\partial q_f}, t \right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0,

gdzie S opisuje transformację

p_l = \frac{\partial S(q, P, t)}{\partial q_l}
Q_l = \frac{\partial S(q, P, t)}{\partial P_l}

która daje rozwiązania równań ruchu, w których P i Qpełnią rolę stałych całkowania.

Nazwa pochodzi od Williama Rowana Hamiltona i Gustava Jacobiego.[2]

Wyprowadzenie[edytuj | edytuj kod]

Jest to metoda całkowania równań kanonicznych Hamiltona


\dot q_l = \frac{\partial H}{\partial p_l}
\dot p_l = -\frac{\partial H}{\partial q_l}
(1)
dla l = 1, 2, \ldots, f.

Jeżeli przekształcenie kanoniczne


q_l = q_l (Q, P, t)
p_l = p_l (Q, P, t)
(2)

prowadzi do postaci funkcji Hamiltona niezależnej od nowych zmiennych kanonicznych, np.

\bar H (Q, P, t) = 0,
(3)

równania Hamiltona przybierają postać


\dot Q_l = \frac{\partial \bar H}{\partial P_l} = 0
\dot P_l = -\frac{\partial \bar H}{\partial Q_l} = 0.
(4)

Ich rozwiązaniem jest więc po prostu


Q_l = \operatorname{const} = \alpha_l
P_l = \operatorname{const} = \beta_l,
(5)

gdzie \alpha_l i \beta_l są stałymi całkowania.

Podstawiając te rozwiązania do transformacji (2) otrzymuje się ruch fazowy wyrażony w zmiennych p i q:


q_l = q_l (\alpha, \beta, t)
p_l = p_l (\alpha, \beta, t).
(6)

2f stałych dowolnych można wyznaczyć z warunków początkowych


q_l (Q, P, t_0) = q_{l0}
p_l (Q, P, t_0) = p_{l0},
(7)

problem sprowadza się więc do znalezienia odpowiedniego przekształcenia.

Przyjmując, że przekształcenie to dane jest wzorem


p_l = \frac{\partial S(q, P, t)}{\partial q_l}
Q_l = \frac{\partial S(q, P, t)}{\partial P_l},
(8)

gdzie warunkiem, aby było to przekształcenia kanoniczne, jest


\left| \frac{\partial^2 S}{\partial q_k \partial P_l} \right| \neq 0,

i wykorzystując (5) otrzymujemy


p_l = \frac{\partial S(q, \beta, t)}{\partial q_l}
\alpha_l = \frac{\partial S(q, \beta, t)}{\partial \beta_l}.
(9)

Następnie, wykorzystując fakt, że dla transformacji (8) zmianę hamiltonianu opisuje wzór

\bar H(Q, P, t) = H(q, p, t) + \frac{\partial S}{\partial t},
(10)

można rozwinąć (3) do postaci

H(q, p, t) + \frac{\partial S(q, P, t)}{\partial t} = 0.
(11)

Wreszcie wstawiając (8) otrzymuje się równanie Hamiltona-Jacobiego:

H \left( q_1, q_2, \ldots, q_f, \frac{\partial S}{\partial q_1}, \frac{\partial S}{\partial q_2}, \ldots, \frac{\partial S}{\partial q_f}, t \right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0.
(12)

[2]

Przypisy

  1. W. I. Arnold: Metody matematyczne mechaniki klasycznej. Warszawa: PWN, 1981, s. 231-233. ISBN 83-01-00143-7.
  2. 2,0 2,1 Wojciech Rubinowicz, Wojciech Królikowski: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 1995, s. 204, 245-246, 253-255. ISBN 83-01-08635-1.