Równanie Hamiltona-Jacobiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie Hamiltona-Jacobiego – postać równań ruchu, którą można utworzyć na podstawie hamiltonianu.

Ma ono postać równania różniczkowego cząstkowego na funkcję działania [1]:

,

gdzie opisuje transformację

która daje rozwiązania równań ruchu, w których i pełnią rolę stałych całkowania.

Nazwa pochodzi od Williama Rowana Hamiltona i Gustava Jacobiego.[2]

Wyprowadzenie[edytuj]

Jest to metoda całkowania równań kanonicznych Hamiltona

(1)
dla .

Jeżeli przekształcenie kanoniczne

(2)

prowadzi do postaci funkcji Hamiltona niezależnej od nowych zmiennych kanonicznych, np.

,
(3)

równania Hamiltona przybierają postać

.
(4)

Ich rozwiązaniem jest więc po prostu

,
(5)

gdzie i są stałymi całkowania.

Podstawiając te rozwiązania do transformacji (2) otrzymuje się ruch fazowy wyrażony w zmiennych i :

.
(6)

stałych dowolnych można wyznaczyć z warunków początkowych

,
(7)

problem sprowadza się więc do znalezienia odpowiedniego przekształcenia.

Przyjmując, że przekształcenie to dane jest wzorem

,
(8)

gdzie warunkiem, aby było to przekształcenia kanoniczne, jest

,

i wykorzystując (5) otrzymujemy

.
(9)

Następnie, wykorzystując fakt, że dla transformacji (8) zmianę hamiltonianu opisuje wzór

,
(10)

można rozwinąć (3) do postaci

.
(11)

Wreszcie wstawiając (8) otrzymuje się równanie Hamiltona-Jacobiego:

.
(12)

[2]

Przypisy

  1. W. I. Arnold: Metody matematyczne mechaniki klasycznej. Warszawa: PWN, 1981, s. 231-233. ISBN 83-01-00143-7.
  2. a b Wojciech Rubinowicz, Wojciech Królikowski: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 1995, s. 204, 245-246, 253-255. ISBN 83-01-08635-1.