Funkcja tworząca momenty silni

Funkcja tworząca momenty silni – dla danego rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej $X$ o wartościach rzeczywistych funkcja zdefiniowana wzorem

$M_{X}(t)=\operatorname {E} {\bigl [}t^{X}{\bigr ]}$

dla wszystkich liczb zespolonych $t,$ dla których ta wartość oczekiwana istnieje. Tak jest w przypadku co najmniej dla wszystkich $t$ na okręgu jednostkowym $|t|=1,$ patrz funkcja charakterystyczna. Jeśli $X$ jest dyskretną zmienną losową przyjmującą wartości jedynie ze zbioru {0,1, ...} nieujemnych liczb całkowitych, wtedy $M_{X}$ nazywana jest również funkcją tworzącą prawdopodobieństwa $X$ i $M_{X}(t)$ jest dobrze zdefiniowaną co najmniej dla wszystkich $t$ w zamkniętym jednostkowym dysku $|t|\leq 1.$

Funkcja tworząca momenty silni tworzy momenty silni rozkładu prawdopodobieństwa. Pod warunkiem że $M_{X}$ istnieje w sąsiedztwie $t=1,$ $n$-ty moment silni jest dany przez

$\operatorname {E} [X^{\underline {n}}]={M_{X}}^{\underline {n}}(1)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=1}M_{X}(t),$

gdzie $x^{\underline {n}}$ oznacza silnię dolną.

Przykład

Niech $X$ ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną λ. Wykorzystując definicję i własności funkcji wykładniczej otrzymuje się funkcję tworzącą momenty silni tej zmiennej,

$M_{X}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }t^{k}\underbrace {\operatorname {P} (X=k)} _{=\,\lambda ^{k}e^{-\lambda }/k!}=e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(t\lambda )^{k}}{k!}}=e^{\lambda (t-1)},\qquad t\in \mathbb {C} ,$

skąd

$\operatorname {E} [X^{\underline {n}}]=\lambda ^{n}.$

Zobacz też

• funkcja tworząca momenty
• kumulanta
• moment