Jędrna rodzina miar

Jędrność (ciasność) (ang. tight) – pojęcie teorii miary formalizujące intuicyjną własność zbioru miar, które nie „uciekają do nieskończoności”. Twierdzenie charakteryzujące jędrne rodziny rozkładów nazywane jest twierdzeniem Prochorowa.

Definicja

Niech $(X,\tau )$ będzie przestrzenią topologiczną, i niech ${\mathfrak {M}}$ będzie σ-algebrą na $X$ zawierającą topologię $\tau$ (czyli każdy podzbiór otwarty w $X$ jest mierzalny, ${\mathfrak {M}}$ może być σ-algebrą borelowską na $X$). Niech $M$ będzie rodziną miar określonych na ${\mathfrak {M}}.$

Rodzinę $M$ nazywa się jędrną (bądź ciasną), jeżeli dla dowolnego $\varepsilon >0$ istnieje zwarty podzbiór $K_{\varepsilon }$ przestrzeni $X,$ że dla wszystkich miar $\mu \in M$ zachodzi

$\mu (X\setminus K_{\varepsilon })<\varepsilon .$

Często rozpatrywanymi miarami są miary probabilistyczne, wtedy ostatnia część może być równoważnie przedstawiona jako

$\mu (K_{\varepsilon })>1-\varepsilon .$

Przykłady

Przestrzenie zwarte

Jeżeli $X$ jest przestrzenią zwartą, to każda rodzina miar probabilistycznych na $X$ jest jędrna.

Rodzina mas punktowych

Niech dana będzie prosta rzeczywista $\mathbb {R}$ z topologią naturalną (euklidesową). Dla $x\in \mathbb {R}$ niech $\delta _{x}$ oznacza miarę Diraca skupioną w $x.$ Wówczas rodzina

$M_{1}:=\{\delta _{n}\colon n\in \mathbb {N} \}$

nie jest jędrna, ponieważ zwartymi podzbiorami $\mathbb {R}$ są te i tylko te, które są domknięte i ograniczone, a każdy taki zbiór, ponieważ jest ograniczony, jest $\delta _{n}$-miary zero dla dostatecznie dużych $n.$ Z drugiej strony, rodzina

$M_{2}:=\{\delta _{1/n}\colon n\in \mathbb {N} \}$

jest ciasna: przedział zwarty $[0,1]$ będzie pełnił rolę $K_{\varepsilon }$ dla dowolnego $\varepsilon >0.$ W ogólności rodzina miar delt Diraca na $\mathbb {R} ^{n}$ jest jędrna wtedy i tylko wtedy, gdy rodzina ich nośników jest ograniczona.

Rodzina miar gaussowskich

Niech dana będzie $n$-wymiarowa przestrzeń euklidesowa $\mathbb {R} ^{n}$ ze standardową topologią i σ-algebrą zbiorów borelowskich oraz rodzina miar gaussowskich

$\Gamma =\{\gamma _{i}\colon i\in I\},$

gdzie zmienna losowa o rozkładzie $\gamma _{i}$ ma wartość oczekiwaną $\mu _{i}\in \mathbb {R} ^{n}$ oraz wariancję $\sigma _{i}^{2}>0.$ Wtedy rodzina $\Gamma$ jest jędrna wtedy i tylko wtedy, gdy obie rodziny $\{\mu _{i}\colon i\in I\}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ oraz $\{\sigma _{i}^{2}\colon i\in I\}\subseteq \mathbb {R}$ są ograniczone.

Analiza przykładu w przypadku jednowymiarowym.

Niech $m^{*},\sigma ^{*},m_{i},\sigma _{i}\in \mathbb {R}$ będą takie, że

$-m^{*}<m_{i}<m^{*}$ oraz $0<\sigma _{i}<\sigma ^{*}$ dla wszystkich $i\in I.$

Niech $\gamma _{i}=N(m_{i},\sigma _{i}^{2})$ będzie rozkładem normalnym ze średnią $m_{i}$ oraz odchyleniem standardowym $\sigma _{i}.$ Wykażemy, że rodzina miar $\{\gamma _{i}\colon i\in I\}$ jest jędrna.

Niech będzie dane $\varepsilon >0.$ Dla $m\in \mathbb {R}$ oraz $\sigma >0$ niech $\Phi _{m,\sigma }$ będzie dystrybuantą rozkładu normalnego $N(m,\sigma )$ i niech $\Phi _{0,1}=\Phi .$ Z własności rozkładu normalnego wiemy, że:

• możemy znaleźć $x^{*}>0$ takie, że $\Phi (x^{*})=1-{\frac {\varepsilon }{3}}$ oraz $\Phi (-x^{*})={\frac {\varepsilon }{3}},$
• $\Phi _{m,\sigma ^{2}}(x)=\Phi {\Big (}{\frac {x-m}{\sigma }}{\Big )}$ dla wszystkich $x\in \mathbb {R} .$

Połóżmy

$d^{-}=-m^{*}-\sigma ^{*}\cdot x^{*}$ oraz $d^{+}=m^{*}+\sigma ^{*}\cdot x^{*}.$

Na mocy naszych założeń o $m_{i},\sigma _{i}$ mamy, że dla $i\in I{:}$

${\frac {m^{*}+\sigma ^{*}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}\geqslant {\frac {m_{i}+\sigma _{i}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}$

oraz

${\frac {-m^{*}-\sigma ^{*}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}\leqslant {\frac {m_{i}-\sigma _{i}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}.$

Stąd

$\Phi _{m_{i},\sigma _{i}^{2}}(d^{+})=\Phi _{m_{i},\sigma _{i}^{2}}(m^{*}+\sigma ^{*}\cdot x^{*})=\Phi {\Big (}{\frac {m^{*}+\sigma ^{*}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}{\Big )}\geqslant \Phi {\Big (}{\frac {m_{i}+\sigma _{i}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}{\Big )}=\Phi (x^{*})=1-{\frac {\varepsilon }{3}}$

oraz

$\Phi _{m_{i},\sigma _{i}^{2}}(d^{-})=\Phi _{m_{i},\sigma _{i}^{2}}(-m^{*}-\sigma ^{*}\cdot x^{*})=\Phi {\Big (}{\frac {-m^{*}-\sigma ^{*}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}{\Big )}\leqslant \Phi {\Big (}{\frac {m_{i}-\sigma _{i}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}{\Big )}=\Phi (-x^{*})={\frac {\varepsilon }{3}}.$

Teraz, dla każdego $i\in I$ mamy

$\gamma _{i}([d^{-},d^{+}])=\Phi _{m_{i},\sigma _{i}^{2}}(d^{+})-\Phi _{m_{i},\sigma _{i}^{2}}(d^{-})\geqslant 1-{\tfrac {\varepsilon }{3}}-{\tfrac {\varepsilon }{3}}>1-\varepsilon ,$

a zbiór $[d^{-},d^{+}]$ jest zwarty jako domknięty i ograniczony przedział prostej rzeczywistej, więc rodzina rozkładów $N(m_{i},\sigma _{i}^{2})$ jest jędrna.

Jędrność a zbieżność

Jędrność jest często warunkiem koniecznym do udowodnienia słabej zbieżności ciągu miar probabilistycznych, szczególnie, przestrzeń mierzalna jest nieskończonego wymiaru. Zobacz

• jędrność w klasycznej przestrzeni Wienera,
• jędrność w przestrzeni Skorohoda,
• rozkład skończeniewymiarowy,
• twierdzenie Prochorowa.

Jędrność wykładnicza

Uogólnieniem jędrności jest tzw. jędrność wykładnicza, która znalazła swoje zastosowania w teorii wielkich odchyleń. Rodzinę miar probabilistycznych $(\mu _{\delta })_{\delta >0}$ na przestrzeni topologicznej Hausdorffa $X$ nazywa się jędrną (ciasną) wykładniczo, jeśli dla dowolnego $\varepsilon >0$ istnieje podzbiór zwarty $K_{\varepsilon }$ przestrzeni $X$ taki, że

$\limsup _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(X\setminus K_{\varepsilon })<-\varepsilon .$

Bibliografia

• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004.brak strony w książce
• Patrick Billingsley: Probability and Measure. Nowy Jork: John Wiley & Sons, Inc., 1995. ISBN 0-471-00710-2.brak strony w książce
• Patrick Billingsley: Convergence of Probability Measures. Nowy Jork: John Wiley & Sons, Inc., 1999. ISBN 0-471-19745-9.brak strony w książce