Kompleks de Rhama

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kompleksem de Rhama w przestrzeni nazywamy kompleks łańcuchowy

gdzie

  • jest -modułem q-form różniczkowych dla każdego ,
  • jest operatorem różniczkowania form różniczkowych.

Elementy jądra operatora nazywamy formami zamkniętymi, a elementy obrazu nazywamy formami dokładnymi. Kompleks de Rhama umożliwia rozwiązywanie układów równań różniczkowych w zbiorze form zamkniętych. Na przykład, aby znaleźć w zamknięte formy postaci

,

należy rozwiązać równanie różniczkowe

.

Formami dokładnymi kompleksu de Rhama są znane z analizy: gradient, dywergencja i rotacja.

Za pomocą operatora różniczkowania form można sformułować twierdzenie Stokesa:

,

gdzie jest obszarem w , a - jego brzegiem. Wynika stąd, że całka z formy zamkniętej na brzegu dowolnego obszaru jest równa zero.

W podobny sposób, jak w , można zdefiniować kompleks de Rhama dla dowolnej rozmaitości różniczkowalnej. Zamiast przestrzeni można rozważać przestrzeń nad ciałem liczb zespolonych .

Uściślenie definicji[edytuj]

Algebra form różniczkowych[edytuj]

Niech będą współrzędnymi w . Niech będzie algebrą nad ciałem generowaną symbolami i o działaniu , dla których spełnione są dwie zależności:

Jako przestrzeń wektorowa nad ciałem algebra ma bazę:

,
,
dla ,
dla ,
...,

Algebrą jest algebra

, gdzie jest algebrą funkcji gładkich na .

Elementy algebry nazywamy formami różniczkowalnymi na .

Jeżeli , to formę można przedstawić jednoznacznie w postaci[1]:

, gdzie , a .

Jeśli dla każdego składnika sumy liczba q jest stała, to formę nazywa się gładką q-formą i zapisuje się ten fakt następująco:

,

gdzie jest modułem nad pierścieniem . Można to także zapisać .

W module określona jest gradacja

.

Operator d różniczkowania form różniczkowych[edytuj]

Operator różniczkowania form różniczkowych

jest określony w następujący sposób[2]:

  1. Jeśli , to .
  2. Jeśli , to .

Elementy jądra operatora różniczkowania są nazywane formami zamkniętymi, a elementy jego obrazu - formami dokładnymi. Każda forma dokładna jest zamknięta. Wynika to z równości .

Własności operatora d[edytuj]

  • Jeśli , to
.
  • ; dowodzi się tej równości w dwóch etapach
dla funkcji , gdzie współczynniki są symetryczne, a iloczyny są antysymetryczne, bo , skąd
dla form mamy .

Przykłady[edytuj]

  • Jeśli , to
  • Dla przypadku przestrzeni moduły i mają rangę 1 nad . Dlatego możliwe są następujące utożsamienia:
,
a konkretnie
  • Dla przypadku przestrzeni moduły i mają rangę 3. Dlatego możliwe jest utożsamienie gładkich pól wektorowych, 1-form i 2-form:
,
a konkretnie
  • W przestrzeni trójwymiarowej :
Dla funkcji f forma jest gradientem.
Dla 1-formy forma jest rotacją.
Dla 2-formy forma jest dywergencją.

Przypisy

  1. Raoul Bott, Loring W. Tu: Differential Forms in Algebraic Topology. Springer Verlag, 1982., tłum. ros. 1989, ss. 21
  2. Bott, Tu, op. cit., tłum. ros., 1989, ss. 21-22

Bibliografia[edytuj]

  • Raoul Bott, Loring W. Tu: Differential Forms in Algebraic Topology. Springer Verlag, 1982.
  • G. de Rham: Variétés differentiables. Hermann, 1956.