Komutant

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Komutant – specjalna podgrupa danej grupy pomocna w badaniu jej właściwości, szczególnie zaś przemienności.

Definicja[edytuj]

Niech będzie dowolną grupą, zaś dowolnymi zbiorami zawartymi w . Komutantem nazywamy podgrupę grupy generowaną przez wszystkie komutatory, czyli elementy , gdzie .

Komutant grupy[edytuj]

Komutant (lub pochodna) grupy to , używa się również oznaczeń oraz . Indukcyjnie definiuje się także n-tą pochodną grupy jako: , wg tej konwencji przez oznacza się po prostu grupę .

Własności[edytuj]

Abelianizacja[edytuj]

Grupę ilorazową oznaczaną bądź nazywa się abelianizacją bądź uprzemiennieniem grupy . Abelianizacja grupy, jak sama nazwa wskazuje, jest grupą abelową. Jest to największa grupa abelowa zawierająca się w tej grupie. Co więcej, grupa ilorazowa jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera . „Wysoce nieprzemienne” grupy, czyli takie, których abelianizacje są grupami trywialnymi nazywane są grupami doskonałymi.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
  • Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4.