Komutant

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Komutant – szczególna podgrupa danej grupy pomocna przy badaniu jej przemienności.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie grupą, zaś dowolnymi jej podzbiorami. Komutantem zbiorów i nazywa się podgrupę generowaną przez wszystkie komutatory gdzie i

Komutantem lub pochodną grupy nazywa się komutant oznaczany też lub Indukcyjnie definiuje się także n-tą pochodną grupy jako: definiuje się również

Własności[edytuj | edytuj kod]

Abelianizacja[edytuj | edytuj kod]

Grupę ilorazową oznaczaną bądź nazywa się abelianizacją bądź uprzemiennieniem grupy Abelianizacja grupy, jak sama nazwa wskazuje, jest grupą abelową. Jest to największa grupa abelowa będąca obrazem Co więcej, grupa ilorazowa jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera „Wysoce nieprzemienne” grupy, czyli takie, których abelianizacje są grupami trywialnymi nazywane są grupami doskonałymi.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
  • Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ​ISBN 83-904564-9-4​.