Komutant

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Komutant – szczególna podgrupa danej grupy pomocna przy badaniu jej przemienności.

Definicja[edytuj]

Niech będzie grupą, zaś dowolnymi jej podzbiorami. Komutantem zbiorów i nazywa się podgrupę generowaną przez wszystkie komutatory , gdzie i .

Komutantem lub pochodną grupy nazywa się komutant oznaczany też lub . Indukcyjnie definiuje się także n-tą pochodną grupy jako: ; definiuje się również

Własności[edytuj]

Abelianizacja[edytuj]

Grupę ilorazową oznaczaną bądź nazywa się abelianizacją bądź uprzemiennieniem grupy . Abelianizacja grupy, jak sama nazwa wskazuje, jest grupą abelową. Jest to największa grupa abelowa zawierająca się w tej grupie. Co więcej, grupa ilorazowa jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera . „Wysoce nieprzemienne” grupy, czyli takie, których abelianizacje są grupami trywialnymi nazywane są grupami doskonałymi.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
  • Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4.