Nawias Poissona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Nawias Poissona - to niezwykle ważne pojęcie mechaniki Hamiltona. Występuje m.in. w równaniach Hamiltona, które opisują ewolucję w czasie układu fizycznego. Nawiasy Poissona są nazwane tak na cześć Siméon Denisa Poissona.

Nawiasy Poissona służą też do definicji algebry Poissona.

Nawiasy Poissona we współrzędnych kanonicznych[edytuj]

Jeżeli w przestrzeni fazowej danego układu fizycznego wprowadzi się współrzędne uogólnione[1]

gdzie jest liczbą stopni swobody układu fizycznego, to nawiasem Poissona funkcji i zależnych od współrzędnych kanonicznych i czasu

nazywamy wyrażenie

Własności nawiasu Poissona[edytuj]

  • Antysymetria [1]

co oznacza, że zmiana kolejności funkcji w nawiasie zmienia znak nawiasu na przeciwny

  • Reguła Leibniza
  • Tożsamość Jacobiego

Pochodna czasowa nawiasu Poissona[edytuj]

Wzór dla pochodnej cząstkowej po czasie:

Wzór dla pełnej pochodnej po czasie:

Nawiasy Poissona współrzędnych kanonicznych[edytuj]

Wychodząc z definicji nawiasów Poissona łatwo pokazać, że dla dowolnych współrzędnych kanonicznych zachodzą zależności:[1]

gdzie: , jest to tzw. delta Kronekera.

W szczególności mamy np.

Powyższa własność nawiasów Poissona ma swój odpowiednik w tzw. metodzie kwantowania, w ramach której uzyskuje się równania ruchu układów kwantowych.

Współrzędne kanoniczne. Transformacje kanoniczne[edytuj]

Przez układ współrzędnych kanonicznych rozumie się układ współrzędnych taki, że nawiasy Poissona tych współrzędnych spełniają zadane relacje komutacyjne, przy czym m.in. należą tu układy współrzędnych tworzone przez współrzędne uogólnione oraz pędy uogólnione .

Nawiasy Poissona wyróżniają klasę transformacji współrzędnych, tzw. transformacji kanonicznych, które odwzorują układ współrzędnych kanonicznych w inny układ współrzędnych kanonicznych. Zbiór możliwych transformacji kanonicznych jest zwykle bardzo duży. Np. zawsze jest możliwy wybór Hamiltonianu jako jeden z nowych pędów kanonicznych.

Dynamika układu fizycznego[edytuj]

Jeżeli jest dowolną funkcją współrzędnych uogólnionych , pędów uogólnionych oraz czasu , przy czym współrzędne te spełniają równania kanoniczne Hamiltona, to pochodna zupełna po czasie tej funkcji może być wyrażona za pomocą pochodnej cząstkowej funkcji po czasie oraz nawiasu Poissona obliczonego dla tej funkcji z funkcją Hamiltona tego układu

Algebra Poissona[edytuj]

Algebrą Poissona nad ciałem  (zwykle  lub  ) nazywamy przestrzeń liniową  z określonym w niej działaniem dwuargumentowym  spełniającym dla dowolnych funkcji warunki:

antyprzemienność
dwuliniowość
regułę Leibniza
tożsamość Jacobiego

Przypisy[edytuj]

  1. a b c L. D. Landau, J. M. Lifszyc, Teoria pola, PWN, Warszawa 2009, str.  160.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • L. D. Landau, J. M. Lifszyc, "Mechanika", wydanie czwarte, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe (PWN) 2011

Linki zewnętrzne[edytuj]