Mechanika Hamiltona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Mechanika Hamiltona jest teorią rozwiniętą jako przeformułowanie mechaniki klasycznej i przewiduje to samo, co nie-hamiltonowska mechanika klasyczna. Używa odmiennego formalizmu matematycznego, wprowadzającego więcej abstrakcji. Z historycznego punktu widzenia było to ważne przeformułowanie mechaniki klasycznej, które później miało wkład w rozwój mechaniki kwantowej.

Mechanika Hamiltona została po raz pierwszy sformułowana przez Williama Rowana Hamiltona w 1833, wychodząc od mechaniki Lagrange'a, poprzedniego przeformułowania mechaniki klasycznej, wprowadzonego przez Josepha Louisa Lagrange'a w 1788.

Przegląd[edytuj]

W mechanice Hamiltona, klasyczny układ fizyczny opisany jest zbiorem współrzędnych kanonicznych, , w których każdy komponent jest przypisany do układu współrzędnych systemu fizycznego.

Ewolucja układu w czasie jest unikatowo opisana przez równania Hamiltona:[1]

gdzie jest hamiltonianem, który często odpowiada całkowitej energii układu.[2] Dla układu zamkniętego, jest to suma energii kinetycznej oraz potencjalnej.

W mechanice klasycznej, ewolucję w skali czasu uzyskuje się, obliczając całkowitą siłę oddziałującą na każdą cząstkę układu, oraz obliczając zmianę pozycji oraz prędkości z drugiego prawa Newtona. W mechanice Hamiltona ewolucję względem czasu otrzymuje się poprzez obliczenie hamiltonianu układu w uogólnionym układzie współrzędnych oraz wstawienie tego do równań Hamiltona. Należy wskazać, że jest to ekwiwalent użycia mechaniki Lagrange'a. W rzeczy samej, jak wkrótce będzie pokazane, hamiltonian jest transformacją Legendre'a lagranżjanu, zatem oba podejścia dają te same równania dla tego samego, uogólnionego pędu. Główna motywacja do używania hamiltonianów w miejsce lagranżjanów pochodzi od symplektycznej natury układów hamiltonowskich.

Mechanika Hamiltona może służyć do opisu prostych układów, takich jak odbijająca się piłka, wahadło lub oscylująca struna, której energia zmienia się z kinetycznej w potencjalną i z powrotem. Jednak jej siła ukazuje się w układach bardziej złożonych i dynamicznych, jak orbity planetarne w mechanice nieba[3]. Oczywiście, im więcej stopni swobody ma układ, tym bardziej skomplikowana jest jego ewolucja, i w większości przypadków staje się chaotyczny.

 Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Przypisy

  1. L.N. Hand, J.D. Finch: Analytical Mechanics. Cambridge University Press, 2008. ISBN 978-0-521-57572-0.
  2. Classical Mechanics. San Francisco, CA: Addison Wesley, 2002, s. 347–349. ISBN 0-201-65702-3.
  3. MIT OpenCourseWare website 18.013A. [dostęp 02-2007].

Bibliografia[edytuj]

  • V. I. Arnol'd: Mathematical Methods of Classical Mechanics. Springer-Verlag, 1989. ISBN 0-387-96890-3.
  • Mathematical aspects of classical and celestial mechanics. W: Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Dynamical Systems III. Springer-Verlag, 1988.