Nilradykał

Nilradykał – dla danego pierścienia przemiennego $A,$ zbiór wszystkich jego elementów nilpotentnych.

Własności

• Nilradykał jest ideałem, bo jeśli $a,x,y$ są takimi elementami pierścienia $A,$ że $x^{n}=0$ i $y^{m}=0,$ to

$(x+y)^{m+n-1}=0$ i $(ax)^{n}=0.$

• Nilradykał jest częścią wspólną wszystkich ideałów pierwszych. Dowód jest oparty na lemacie Kuratowskiego-Zorna.
• Pierścień składa się wyłącznie z jedności i elementów nilpotentnych wtedy i tylko wtedy, gdy iloraz tego pierścienia przez jego nilradykał jest ciałem.
• Pierścień zawiera dokładnie jeden ideał pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego element nieodwracalny jest nilpotentny.
• Jeżeli każdy ideał pierścienia niezawierający się w nilradykale zawiera element idempotenty, to nilradykał ten jest identyczny z radykałem Jacobsona.

Przykłady

• W pierścieniu wielomianów zmiennych $X_{1},\dots ,X_{n}$ o współczynnikach z pewnego pierścienia $A$ nilradykał jest zbiorem tych wielomianów, których wszystkie współczynniki są elementami nilpotentnymi w $A.$ W szczególności, twierdzenie to jest prawdziwe dla pierścienia wielomianów jednej zmiennej $A[X].$
• W pierścieniu $Z_{8}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$ reszt modulo 8 jedynym ideałem pierwszym jest $\{0,2,4,6\}.$ Jednocześnie jest on nilradykałem, bo w $Z_{8}$ mamy $2^{3}=0,$ $4^{2}=0$ i $6^{3}=0.$
• W pierścieniu $Z_{36}$ są dwa ideały pierwsze – ideały główne generowane przez reszty 2 i 3. Ich częścią wspólną jest ideał główny $(6)=\{0,6,12,18,24\},$ który jest jednocześnie nilradykałem. Z drugiej strony, ideał (6) nie jest ideałem pierwszym, bo nie należy do niego ani 2, ani 3, a ich iloczyn jest równy reszcie 6, która należy do (6).
• W pierścieniu $Z_{180}$ ideałami pierwszymi są ideały główne (2), (3) i (5), a nilradykałem jest (30).

Bibliografia

• M.F. Atiyah, I.G. Macdonald: Wstęp do algebry przemiennej (tłum. ros.). Wyd. 1. Mir, 1972.brak strony w książce

Literatura dodatkowa

• N. Bourbaki: Algebra przemienna (tłum. ros.). Wyd. 1. Mir, 1971.brak strony w książce
• S. Balcerzyk, T. Józefiak: Pierścienie przemienne. Wyd. 1. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1985. ISBN 83-01-04874-3.brak strony w książce