Wzór Leibniza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wzór Leibniza – wzór pozwalający obliczyć n-tą pochodną iloczynu funkcji. Został wprowadzony przez niemieckiego matematyka Gottfrieda Leibniza.

Wzór[edytuj | edytuj kod]

Niech i będą funkcjami różniczkowalnymi i mającymi pochodne aż do rzędu n włącznie. Wtedy pochodna n-tego rzędu iloczynu wyraża się wzorem:

(1)

gdzie to symbol Newtona (współczynnik dwumianowy), a Wzór ten możemy też przedstawić, używając notacji wielowskaźnikowej:

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Wzór

udowodnimy używając indukcji matematycznej (zupełnej) ze względu na n.

Dla otrzymujemy:

Teraz udowodnimy ten wzór dla przy założeniu, że jest on spełniony dla

Weźmy teraz dla pierwszego członu

Uogólnienie[edytuj | edytuj kod]

Istnieje podobny wzór, zachodzący dla r funkcji różniczkowalnych i mających pochodne aż do n-tego rzędu włącznie. Pochodna n-tego rzędu iloczynu wyraża się wzorem:

(2)

gdzie

oznacza współczynnik multimianowy. Sumowanie we wzorze (2) odbywa się po wszystkich liczbach naturalnych (łącznie z 0), których suma daje n.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Dowód przeprowadzimy poprzez indukcję ze względu na . Dla wzór (2) staje się zwykłym wzorem Leibniza (1):

Zakładamy więc, że wzór (2) zachodzi dla pewnej liczby naturalnej . Udowodnimy, że wynika z niego wzór dla funkcji Na początek zapiszmy

Skorzystajmy teraz ze zwykłego wzoru Leibniza dla dwóch funkcji, oraz :

(wyrażenie odgrywa rolę wskaźnika i i jest dobrane dla zachowania ciągłości oznaczeń w dalszych przekształceniach). Na mocy założenia indukcyjnego, wiemy, czemu równa się ostatni z nawiasów:

Kolejno wstawiając rozpisane wyrażenie z nawiasu i stosując własności sumy, otrzymujemy:

Korzystając z faktu, że dla liczb zachodzi

otrzymujemy

Dla ustalonego ostatnie dwa nawiasy wymnażają się do wspólnej postaci

Dla ustalonego sumowanie w wewnętrznej sumie odbywa się po wszystkich liczbach których suma daje Ale ponieważ robimy tak dla każdego od 0 do n, to w efekcie sumujemy po wszystkich liczbach których suma daje n i wszystkie składniki po prawej stronie można zebrać pod jedną sumę

co kończy dowód indukcyjny.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]