Wzór Leibniza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wzór Leibniza – wzór pozwalający obliczyć n-tą pochodną iloczynu funkcji. Został wprowadzony przez niemieckiego matematyka Gottfrieda Leibniza.

Wzór[edytuj]

Niech i będą funkcjami różniczkowalnymi i mającymi pochodne aż do rzędu n włącznie. Wtedy pochodna n-tego rzędu iloczynu wyraża się wzorem:

,
(1)

gdzie to symbol Newtona (współczynnik dwumianowy), a . Wzór ten możemy też przedstawić używając notacji wielowskaźnikowej:

Dowód[edytuj]

Wzór

udowodnimy używając indukcji matematycznej (zupełnej) ze względu na n.

Dla otrzymujemy:

Teraz udowodnimy ten wzór dla , przy założeniu, że jest on spełniony dla


Weźmy teraz dla pierwszego członu .

.

Uogólnienie[edytuj]

Istnieje podobny wzór, zachodzący dla r funkcji różniczkowalnych i mających pochodne aż do n-tego rzędu włącznie. Pochodna n-tego rzędu iloczynu wyraża się wzorem:

(2)

gdzie

oznacza współczynnik multimianowy. Sumowanie we wzorze (2) odbywa się po wszystkich liczbach naturalnych (łącznie z 0), których suma daje n. .

Dowód[edytuj]

Dowód przeprowadzimy poprzez indukcję ze względu na r. Dla r=2 wzór (2) staje się zwykłym wzorem Leibniza (1):

Zakładamy więc, że wzór (2) zachodzi dla pewnej liczby naturalnej r, większej od 2. Udowodnimy, że wynika z niego wzór dla r+1 funkcji . Na początek zapiszmy

Skorzystajmy teraz ze zwykłego wzoru Leibniza dla dwóch funkcji, oraz :

(wyrażenie odgrywa rolę wskaźnika i i jest dobrane dla zachowania ciągłości oznaczeń w dalszych przekształceniach). Na mocy założenia indukcyjnego, wiemy, czemu równa się ostatni z nawiasów:

Kolejno wstawiając rozpisane wyrażenie z nawiasu i stosując własności sumy otrzymujemy:

Korzystając z faktu, że dla liczb zachodzi

otrzymujemy

Dla ustalonego ostatnie dwa nawiasy wymnażają się do wspólnej postaci

Dla ustalonego , sumowanie w wewnętrznej sumie odbywa się po wszystkich liczbach , których suma daje . Ale ponieważ robimy tak dla każdego , od 0 do n, to w efekcie sumujemy po wszystkich liczbach , których suma daje n i wszystkie składniki po prawej stronie można zebrać pod jedną sumę

co kończy dowód indukcyjny.

Linki zewnętrzne[edytuj]

Bibliografia[edytuj]