Notacja wielowskaźnikowa

Notacja wielowskaźnikowa – notacja matematyczna upraszczająca wzory analizy wielu zmiennych, równań różniczkowych cząstkowych oraz teorii dystrybucji przez uogólnienie pojęcia wskaźnika (indeksu) całkowitego do wektora wskaźników.

Notacja wielowskaźnikowa

Wielowskaźnik $n$ -wymiarowy to wektor

\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n})

nieujemnych liczb całkowitych. Dla wielowskaźników $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}$ oraz $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ określa się:

sumę i różnicę (po współrzędnych),
$\alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\dots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n});$
porządek częściowy,
$\alpha \leqslant \beta \iff \alpha _{i}\leqslant \beta _{i}\qquad \forall _{i\in \{1,\dots ,n\}};$
sumę współrzędnych (wartość bezwzględną),
$|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{n};$
silnię,
$\alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\ldots \alpha _{n}!;$
symbol Newtona,
${\alpha \choose \beta }={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\ldots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}};$
potęgę,
$x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}};$
pochodną cząstkową wyższych rzędów,
$\partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}},$ gdzie $\partial _{i}^{\alpha _{i}}:={\tfrac {\partial ^{\alpha _{i}}}{\partial x_{i}^{\alpha _{i}}}}.$

Niektóre zastosowania

Notacja wielowskaźnikowa umożliwia rozszerzenie wielu wzorów analizy elementarnej do odpowiadających im przypadków w analizie wielu zmiennych. Oto niektóre przykłady:

Twierdzenie o wielomianie

\left(\sum _{i=1}^{n}~x_{i}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}~{\frac {k!}{\alpha !}}\,x^{\alpha }

Wzór Leibniza

Dla funkcji gładkich $f$ i $g$

\partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leqslant \alpha }{\alpha  \choose \nu }\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.

Szereg Taylora

Dla funkcji analitycznej $f$ o $n$ zmiennych jest

f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.

Rzeczywiście, dla wystarczająco gładkiej funkcji istnieje podobne rozwinięcie Taylora

f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leqslant n}~{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),

gdzie ostatni wyraz (reszta) zależy od konkretnej wersji wzoru Taylora. Na przykład dla wzoru Cauchy’ego (z resztą całkową) otrzymuje się

R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}~{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int \limits _{0}^{1}~{(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt}.

Operator różniczki cząstkowej ogólnej postaci

Operator różniczki cząstkowej $n$ -tego rzędu $n$ zmiennych zapisuje się formalnie jako

P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leqslant N}~{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.

Całkowanie przez części

Dla funkcji gładkich o zwartym nośniku w ograniczonej dziedzinie $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ jest

\int \limits _{\Omega }~{u(\partial ^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int \limits _{\Omega }~{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.

Wzór ten jest wykorzystywany przy definiowaniu dystrybucji i słabych pochodnych.

Przykładowe twierdzenie

Jeżeli $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}$ są wielowskaźnikami, a $x=(x_{1},\dots ,x_{n}),$ to

\partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha },&{\hbox{gdy}}\,\,\alpha \leqslant \beta ,\\0&{\hbox{w p.p.}}\end{cases}}

Dowód

Dowód wynika z reguły potęgi dla zwykłej pochodnej; jeżeli $\alpha ,\beta \in \{0,1,2,\dots \},$ wtedy

{\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha },&{\hbox{gdy}}\,\,\alpha \leqslant \beta ,\\0&{\hbox{w p.p.}}\end{cases}}\qquad (1)

Załóżmy, że $\alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}),$ $\beta =(\beta _{1},\dots ,\beta _{n}),$ $x=(x_{1},\dots ,x_{n}).$ Wtedy

{\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\ldots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\ldots x_{n}^{\beta _{n}}\\[1ex]&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\ldots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}

Dla każdego $i\in \{1,\dots ,n\},$ funkcja $x_{i}^{\beta _{i}}$ zależy wyłącznie od $x_{i}.$ Dlatego w powyższym wzorze każde różniczkowanie cząstkowe ${\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}$ redukuje się do odpowiedniego różniczkowania zwykłego ${\tfrac {d}{dx_{i}}}.$ Stąd z równania (1) wynika, że $\partial ^{\alpha }x^{\beta }$ znika, jeśli $\alpha _{i}>\beta _{i}$ dla przynajmniej jednego $i\in \{1,\dots ,n\}.$ W przeciwnym wypadku, tzn. gdy $\alpha \leqslant \beta$ jako wielowskaźniki, wtedy