Pierścień lokalny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pierścień lokalny - pierścień przemienny, który ma dokładnie jeden ideał maksymalny[1]. Niektórzy autorzy pierścień przemienny o jedynym ideale maksymalnym nazywają quasi-lokalnym, rezerwując termin pierścień lokalny dla pierścieni quasi-lokalnych i noetherowskich[2].

Własności[edytuj]

  • Pierścień przemienny jest pierścieniem lokalnym wtedy i tylko wtedy, gdy suma jego każdych dwóch elementów nieodwracalnych jest elementem nieodwracalnym.
  • Pierścień jest lokalny i jest jedynym ideałem maksymalnym pierścienia wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru jest odwracalny[3].
  • Jeżeli jest pierścieniem lokalnym i noetherowskim o ideale maksymalnym , to
.
Jest to szczególny przypadek twierdzenia Krulla o przekroju[4]. Założenia, że jest pierścieniem noetherowskim nie można pominąć.

Przykłady[edytuj]

  • Każde ciało jest pierścieniem lokalnym (jego jedynym ideałem maksymalnym jest ).
  • Pierścień szeregów formalnych o skończonej liczbie zmiennych i o współczynnikach z ciała jest pierścieniem lokalnym.
  • Pierścień lokalny kiełków rzeczywistych funkcji ciągłych. Niech będzie przestrzenią topologiczną oraz . Rozpatrzmy zbiór par , gdzie jest otoczeniem punktu i jest funkcją ciągłą. Określmy relację dla pewnego otoczenia punktu . Relacja ta jest relacją równoważności. Klasę abstrakcji zawierającą parę oznaczmy . W zbiorze klas abstrakcji możemy wyróżnić jako element zerowy i jako jedynkę oraz odpowiednio zdefiniować działania dodawania i mnożenia. Pierścień ten nazywamy pierścieniem lokalnym kiełków rzeczywistych funkcji ciągłych w punkcie przestrzeni topologicznej i oznaczamy przez . Pierścień ten jest lokalny, gdyż jego jedynym ideałem maksymalnym jest ideał złożony z wszystkich klas abstrakcji , że . Podobnie określa się pierścienie kiełków zespolonych funkcji ciągłych, różniczkowalnych (rzeczywistych bądź zespolonych) funkcji ustalonej klasy w punkcie rozmaitości różniczkowej , a także pierścień kiełków funkcji regularnych w punkcie rozmaitości algebraicznej.
  • Lokalizacja względem ideału pierwszego. Dla dowolnego pierścienia przemiennego i jego ideału pierwszego pierścień złożony z elementów postaci , gdzie jest pierścieniem lokalnym. Jego ideał maksymalny jest złożony z elementów , dla których .
  • Dla nierozkładalnego podzbioru zbioru algebraicznego pierścień wszystkich funkcji wymiernych, które są określone na otwartych podzbiorach jest pierścieniem lokalnym, którego ideałem maksymalnym jest zbiór funkcji wymiernych równych 0 na . Dla zbiorów afinicznych jest to lokalizacja pierścienia wielomianów względem ideału radykalnego odpowiadającego podzbiorowi.

Uogólnienie na pierścienie nieprzemienne[edytuj]

Pojęcie pierścienia lokalnego ma dwa (nierównoważne) uogólnienia w klasie pierścieni nieprzemiennych. I tak pierścień (być może nieprzemienny) P nazywany jest

Ponadto, dla dowolnego pierścienia P następujące warunki są równoważne:

  1. P jest pierścieniem lokalnym;
  2. P ma dokładnie jeden ideał lewostronny;
  3. P ma dokładnie jeden ideał prawostronny;
  4. zbiór wszystkich elementów nieodwracalnych w P jest ideałem;
  5. dla każdej liczby naturalnej n i a1, ..., anP , o ile tylko element a1 + ... + an jest odwracalny, to istnieje takie in, że ai jest odwracalny.

Pierścienie lokalne mają dokładnie jeden ideał maksymalny oraz nie mają elementów idempotentnych innych niż 0 i 1. Przykładem nieprzemiennego pierścienia lokalnego jest pierścień macierzy górnotrójkątnych ustalonego stopnia nad pierścieniem z dzieleniem, których wyrazy na głównej przekątnej są sobie równe.

Przypisy

Bibliografia[edytuj]

  1. M. F. Atiyah, I. G. MacDonald: Introduction to commutative algebra. Westview Press, 1994, s. 4. ISBN 0201407515.
  2. Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1997, s. 142-144.
  3. Stanisław Balcerzyk: Wstęp do algebry homologicznej. Warszawa: PWN, 1972, s. 284.
  4. Stanisław Balcerzyk, Tadeusz Józefiak: Pierścienie przemienne. PWN, 1985, s. 33, 50. ISBN 83-01-04874-3.
  5. Tsit Yuen Lam: A first course in noncommutative rings. Wyd. Second edition. New York: Springer-Verlag, 2001, s. 284, seria: Graduate Texts in Mathematics, 131. ISBN 0-387-95183-0.