Pochodna arytmetyczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Pochodna arytmetyczna, pochodna liczbowa – w teorii liczb jest to funkcja zdefiniowana dla liczb całkowitych, która bazuje na ich rozkładzie na czynniki pierwsze poprzez analogię wobec reguły Leibniza, używanej w analizie matematycznej.

Istnieje wiele wersji pochodnej arytmetycznej. Oprócz tej, która jest opisana w tym artykule (pochodna arytmetyczna Lagariasa), istnieją również m.in. pochodne arytmetyczne Ihary i Buiuma.

Wczesna historia[edytuj | edytuj kod]

Pochodna arytmetyczna została wprowadzona przez hiszpańskiego matematyka imieniem Josè Mingot Shelly w 1911 roku[1][2] Ten koncept pojawił się również w Putnam Competition w 1950 roku[3].

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Dla liczb naturalnych , pochodna arytmetyczna jest zdefiniowana w sposób następujący:

  • .
  • dla dowolnej liczby pierwszej .
  • dla dowolnych .

Rozszerzenie poza liczby naturalne[edytuj | edytuj kod]

Edward J. Barbeau rozszerzył dziedzinę do wszystkich liczb całkowitych przez pokazanie, że równanie , które jednoznacznie zwiększyłoby dziedzinę do liczb całkowitych, jest zgodne z równaniem funkcji pochodnej arytmetycznej. Barbeau również rozszerzył domenę do liczb wymiernych poprzez pokazanie, że metoda obliczania pochodnej funkcji wymiernej daje dobrze zdefiniowaną pochodną arytmetyczną na zbiorze :

[4][5].

Victor Ufnarovski i Bo Åhlander rozszerzyli dziedzinę do liczb niewymiernych, które mogą być zapisane jako iloczyn liczb pierwszych podniesiony do arbitralnej potęgi wymiernej, co pozwala na kalkulację takich wyrażeń jak [6].

Pochodna arytmetyczna może być również rozszerzona do każdego pierścienia z jednoznacznością rozkładu (UFD, pierścień Gaussa), takich jak liczby całkowite Gaussa lub liczby całkowite Eisensteina, oraz jego powiązanego ciała ułamków. Jeżeli pierścień Gaussa jest pierścieniem wielomianów, wtedy pochodna arytmetyczna jest tym samym, co pochodzenie na tym pierścieniu. Na przykład, zwykła pochodna jest pochodną arytmetyczną dla pierścieni jednoelementowych rzeczywistych i zespolonych wielomianów i funkcji wymiernych, co może zostać udowodnione używając zasadniczego twierdzenia algebry.

Pochodna arytmetyczna została również rozszerzona do pierścienia klas reszt[7].

Podstawowe właściwości[edytuj | edytuj kod]

Reguła Leibniza implikuje, że (zakładając ) oraz (zakładając ).

Podobnie jak w przypadku zwyczajnej pochodnej, istnieje wzór powiązany z potęgą nad różniczkowanym elementem. Dla dowolnych liczb całkowitych i :

.

Pozwala to na obliczenie wartości pochodnej z rozkładu liczby całkowitej na liczby pierwsze, :

gdzie , funkcja omega liczb pierwszych, jest liczbą różnych czynników pierwszych , a jest p-adycznym szacunkiem .

Przykłady:

Ciąg liczbowy poszczególnych wartości dla (Sekwencja A003415 w OEIS) zaczyna się następująco:

Powiązane funkcje[edytuj | edytuj kod]

Pochodna logarytmiczna jest w pełni addytywną funkcją: .

Cząstkowa pochodna arytmetyczna po definiowana jest jako , a więc pochodna arytmetyczna może zostać zapisana jako .

Arytmetyczna funkcja jest addytywną Leibniza jeżeli istnieje taka kompletnie mnożna funkcja , że dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych oraz . Argumentem za tym konceptem jest fakt, że funkcje addytywne Leibniza są generalizacją pochodnej arytmetycznej ; szczegółowiej, jest addytywną Leibniza dla .

Nierówności i granice[edytuj | edytuj kod]

E. J. Barbeau zbadał granice pochodnej arytmetycznej[8] i odkrył, że:

oraz

gdzie , funkcja omega liczb pierwszych, jest liczbą czynników pierwszych . W obu powyższych przypadkach równość występuje, gdy jest potęgą dwójki.

Dahl, Olsson i Loiko odkryli, że pochodna arytmetyczna liczby naturalnej jest ograniczona przez[9]

gdzie jest najmniejszym czynnikiem pierwszym . Równość występuje gdy jest potęgą liczby .

Alexander Loiko, Jonas Olsson i Niklas Dahl odkryli również, że nie jest możliwe znalezienie podobnych granic dla pochodnej arytmetycznej poszerzonej o liczby wymierne. Dokonali tego przez udowodnienie, że pomiędzy dwoma dowolnymi liczbami wymiernymi istnieją inne liczby wymierne o arbitralnie wielkich lub małych pochodnych (oznacza to, że pochodna arytmetyczna nie jest funkcją ciągłą w ).

Rząd średniej[edytuj | edytuj kod]

Wiemy, że

oraz

dla dowolnego , gdzie

.

Znaczenie dla teorii liczb[edytuj | edytuj kod]

Victor Ufnarovski i Bo Åhlander uszczegółowili powiązanie tej funkcji z przypuszczeniami w teorii liczb. Przykładowo, hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych implikuje istnienie nieskończenie wielu , dla których ; a hipoteza Goldbacha wiąże się z implikacją, że dla każdego istnieje takie , że [6].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. D.J.M. Shelly, Una cuestión de la teoria de los numeros, 1911 [dostęp 2022-08-06] (hiszp. • niem.).
  2. Paolo Pietro Lava, Giorgio Balzarotti., La derivata aritmetica: Alla scoperta di un nuovo approccio alla teoria dei numeri, HOEPLI, 2013, ISBN 88-203-6038-1, OCLC 1147911649 [dostęp 2022-08-06] (wł.).
  3. John Scholes, 10th Putnam 1950, prase.cz [dostęp 2022-08-06] (ang.).
  4. E.J. Barbeau, Remarks on an Arithmetic Derivative, „Canadian Mathematical Bulletin”, 4 (2), 1961, s. 117–122, DOI10.4153/CMB-1961-013-0, ISSN 0008-4395 [dostęp 2022-08-06] (ang.).
  5. Edward Barbeu, Problem, kwiecień 1973.
  6. a b Victor Ufnarovski, Bo Åhlander, How to Differentiate a Number, „Journal of Integer Sequences”, 6, 2003 (ang.).
  7. Mike Krebs, Caleb Emmons, Anthony Shaheen, How to Differentiate an Integer Modulo n, „The College Mathematics Journal”, 40 (5), 2009, s. 345–353, DOI10.4169/074683409X475661, ISSN 0746-8342 [dostęp 2022-08-06].
  8. Edward Barbeau, Remarks on an arithmetic derivative, 1961 (ang.).
  9. Niklas Dahl, Jonas Olsson, Alexander Loiko, Investigations on the properties of the arithmetic derivative, 24 sierpnia 2011, s. 4 [dostęp 2022-08-06] (ang.).