Liczby całkowite Gaussa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Liczby pierwsze Gaussa mogą być liczbami całkowitymi, ale wiele z nich ma niezerową część urojoną. Na rysunku liczby pierwsze Gaussa zostały wyróżnione kolorem zielonym.

Liczby całkowite Gaussa (liczby całkowite zespolone) to liczby zespolone, których części rzeczywiste i części urojone są liczbami całkowitymi. Formalnie, zbiór liczb całkowitych Gaussa definiuje się jako [1].

Wraz ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem liczb zespolonych liczby całkowite Gaussa tworzą, podobnie jak liczby całkowite, dziedzinę całkowitości, a nawet pierścień Euklidesa, zazwyczaj oznaczany przez . nie jest natomiast pierścieniem uporządkowanym, podczas gdy jest takim pierścieniem.

Elementami odwracalnymi pierścienia są: [a]. Mnożenie przez element odwracalny nie zmienia modułu liczby całkowitej Gaussa. Elementy odwracalne z działaniem mnożenia tworzą grupę czteroelementową izomorficzną grupie cyklicznej czteroelementowej. Generatorami tej grupy są oraz . Grupa ta działa na i można ja interpretować geometrycznie jako grupę obrotów generowaną przez obrót dokoła początku układu współrzędnych o kąt prosty (obrót ten odpowiada mnożeniu przez ). Poza orbitą jednoelementową {0} orbity tego działania są czteroelementowe, po jednym elemencie w każdej z ćwiartek układu współrzędnych, a dokładniej w zbiorach

(I ćwiartka), (II ćwiartka),
(III ćwiartka), (IV ćwiartka).

Elementy pierwsze pierścienia są czasem nazywane liczbami pierwszymi Gaussa[b]. Mają one głęboki związek z liczbami pierwszymi pierścienia oraz ze starym pytaniem Diofantosa o liczby całkowite dodatnie, które można przedstawić w postaci sumy kwadratów liczb całkowitych. Liczby pierwsze w można opisać w następujący sposób:

  1. Jeśli kwadrat modułu liczby z jest w liczbą pierwszą postaci 4n + 1 (gdzie ) , to z jest liczbą pierwszą w . Każda liczba pierwsza w postaci 4n + 1 rozkłada się na iloczyn dwóch liczb pierwszych Gaussa.
  2. Liczba 2 jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej .
  3. Liczba pierwsza w postaci 4n + 3 jest liczbą pierwszą w .

Każda liczba pierwsza Gaussa jest jednego z trzech powyższych typów z dokładnością do mnożenia przez element odwracalny ().

Przykłady[edytuj]

  • Liczby 3, 7, 11, 19 są liczbami pierwszymi Gaussa.
  • Liczbie pierwszej 5 odpowiadają liczby pierwsze Gaussa .
  • Liczbie pierwszej 13 odpowiadają liczby pierwsze Gaussa .
  • Liczbie pierwszej 17 odpowiadają liczby pierwsze Gaussa .
  • Ponieważ moduł iloczynu liczb zespolonych jest równy iloczynowi modułów tych liczb, więc jeśli i , to

czyli dla dowolnych liczb całkowitych

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Шнирелман Л. Г.: Простые числа. Москва-Ленинград: ГИТТЛ, 1940, s. 22-29.

Uwagi

  1. Na rysunku elementy odwracalne są zaznaczone kolorem czerwonym.
  2. Na rysunku liczby pierwsze Gaussa są zaznaczone kolorem zielonym.

Bibliografia[edytuj]

  1. Gauss C. F.: Arithmetische Untersuchungen. New York-Chelsea: 1965.
  2. Hardy G. H., Wright E. M.: An Introduction of the Theory of Numbers. Wyd. 4. New York: Oxford Uniwersity Press, 1960.
  3. Шнирелман Л. Г.: Простые числа. Москва-Ленинград: ГИТТЛ, 1940.
  4. Ireland K., Rosen M.: A Classical Introduction to Modern Number Theory. New York Heidelberg Berlin: Springer Verlag, 1982.