Liczby całkowite Gaussa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Liczby pierwsze Gaussa mogą być liczbami całkowitymi, ale wiele z nich ma niezerową część urojoną. Na rysunku liczby pierwsze Gaussa zostały wyróżnione kolorem zielonym.

Liczby całkowite Gaussa (liczby całkowite zespolone) to liczby zespolone, których części rzeczywiste i części urojone są liczbami całkowitymi. Formalnie, zbiór liczb całkowitych Gaussa definiuje się jako \{a+bi: a,b\in \mathbb Z \wedge i^2=-1\}[1].

Wraz ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem liczb zespolonych liczby całkowite Gaussa tworzą, podobnie jak liczby całkowite, dziedzinę całkowitości, a nawet pierścień Euklidesa, zazwyczaj oznaczany przez \mathbb Z[i]. \mathbb Z[i] nie jest natomiast pierścieniem uporządkowanym, podczas gdy \mathbb Z jest takim pierścieniem.

Elementami odwracalnymi pierścienia \mathbb Z[i] są: 1,\, -1,\, i,\, -i[a]. Mnożenie przez element odwracalny nie zmienia modułu liczby całkowitej Gaussa. Elementy odwracalne z działaniem mnożenia tworzą grupę czteroelementową izomorficzną grupie cyklicznej czteroelementowej. Generatorami tej grupy są - i oraz + i. Grupa ta działa na \mathbb Z[i] i można ja interpretować geometrycznie jako grupę obrotów generowaną przez obrót dokoła początku układu współrzędnych o kąt prosty (obrót ten odpowiada mnożeniu przez + i). Poza orbitą jednoelementową {0} orbity tego działania są czteroelementowe, po jednym elemencie w każdej z ćwiartek układu współrzędnych, a dokładniej w zbiorach

\{ x\, +\, yi: x > 0, y \geqslant 0 \} (I ćwiartka), \{ x\, +\, yi: x \leqslant 0, y > 0 \} (II ćwiartka),
\{ x\, +\, yi: x < 0, y \leqslant 0 \} (III ćwiartka), \{ x\, +\, yi: x \geqslant 0, y < 0 \} (IV ćwiartka).

Elementy pierwsze pierścienia \mathbb Z[i] są czasem nazywane liczbami pierwszymi Gaussa[b]. Mają one głęboki związek z liczbami pierwszymi pierścienia \mathbb Z oraz ze starym pytaniem Diofantosa o liczby całkowite dodatnie, które można przedstawić w postaci sumy kwadratów liczb całkowitych. Liczby pierwsze w z = x + yi \in \mathbb Z[i] można opisać w następujący sposób:

  1. Jeśli kwadrat modułu |z|^2 = x^2 + y^2 liczby z jest w \mathbb Z liczbą pierwszą postaci 4n + 1 (gdzie  n \in \mathbb Z_+) , to z jest liczbą pierwszą w \mathbb Z[i]. Każda liczba pierwsza w \mathbb Z_+ postaci 4n + 1 rozkłada się na iloczyn dwóch liczb pierwszych Gaussa.
  2. Liczba 2 jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej 1 + i \in \mathbb Z[i].
  3. Liczba pierwsza w \mathbb Z postaci 4n + 3 jest liczbą pierwszą w \mathbb Z[i].

Każda liczba pierwsza Gaussa jest jednego z trzech powyższych typów z dokładnością do mnożenia przez element odwracalny (1,\, -1,\, i,\, -i).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Liczby 3, 7, 11, 19 są liczbami pierwszymi Gaussa.
  • Liczbie pierwszej 5 odpowiadają liczby pierwsze Gaussa 1 \,+\, 2i,\, 1 \,-\, 2i.
  • Liczbie pierwszej 13 odpowiadają liczby pierwsze Gaussa 2\, + \,3i,\, 2 \,-\, 3i.
  • Liczbie pierwszej 17 odpowiadają liczby pierwsze Gaussa 1 \,+\, 4i, \,1\, -\, 4i.
  • Ponieważ moduł iloczynu liczb zespolonych jest równy iloczynowi modułów tych liczb, więc jeśli u \,=\, a \,+\, bi i v \,=\, c \,+\, di, to
(a^2 + b^2) \cdot (c^2 + d^2) = |u|^2 \cdot |v|^2 = |uv|^2 = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2

czyli dla dowolnych liczb całkowitych a, b, c, d\;

(a^2 + b^2) \cdot (c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Шнирелман Л. Г.: Простые числа. Москва-Ленинград: ГИТТЛ, 1940, s. 22-29.

Uwagi

  1. Na rysunku elementy odwracalne są zaznaczone kolorem czerwonym.
  2. Na rysunku liczby pierwsze Gaussa są zaznaczone kolorem zielonym.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Gauss C. F.: Arithmetische Untersuchungen. New York-Chelsea: 1965.
  2. Wright E. M.: An Introduction of the Theory of Numbers. Wyd. 4. New York: Oxford Uniwersity Press, 1960.
  3. Шнирелман Л. Г.: Простые числа. Москва-Ленинград: ГИТТЛ, 1940.
  4. Ireland K., Rosen M.: A Classical Introduction to Modern Number Theory. New York Heidelberg Berlin: Springer Verlag, 1982.