Liczby całkowite Eisensteina

Liczby całkowite Eisensteina (nazywane także liczbami Eisensteina-Jacobiego) – liczby postaci $a+b\omega ,$ gdzie $a$ i $b$ są liczbami całkowitymi,

$\omega ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{{\frac {2}{3}}\pi i},$

oraz $i$ jest jednostką urojoną. $\omega$ jest pierwiastkiem zespolonym równania $z^{2}+z+1=0$. Zarówno suma, różnica, jak i iloczyn liczb Eisensteina również są liczbami Eisensteina, tworzą więc one pierścień. Pierścień ten jest euklidesowy z normą $N$ daną wzorem

$N(a+b\omega )=|a+b\omega |^{2}=a^{2}-ab+b^{2}$.

W szczególności, pierścień liczb całkowitych Eisensteina jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu.

Na płaszczyźnie zespolonej liczby całkowite Eisensteina są węzłami regularnej sieci trójkątnej (złożonej z trójkątów równobocznych, jak na rysunkach poniżej).

Zbiór liczb pierwszych Eisensteina jest (z dokładnością do mnożenia przez niżej wspomniane elementy odwracalne) sumą dwóch zbiorów:

1. zbioru liczb $a+b\omega ,$ takich że $a$ jest liczbą pierwszą, taką że $a\equiv 2{\pmod {3}}$ oraz $b=0,$
2. zbioru liczb $a+b\omega ,$ takich że $N(a+b\omega )$ jest taką liczbą pierwszą $p,$ że $p\equiv 1{\pmod {3}}.$

Liczby pierwsze Eisensteina mogą być liczbami całkowitymi, ale wiele z nich ma niezerową część urojoną. Na rysunku liczby pierwsze Eisensteina zostały wyróżnione kolorem zielonym, a elementy odwracalne kolorem czerwonym.

Grupa elementów odwracalnych pierścienia liczb całkowitych Eisensteina jest sześcioelementowa i składa się z liczb:

$+1,\,-1,\,+\omega ,\,-\omega ,\,+\omega ^{2}=-1-\omega ,\,-\omega ^{2}=1+\omega$.

Na płaszczyźnie zespolonej można ją zinterpretować jako grupę obrotów dokoła początku układu współrzędnych generowaną przez obrót o 60° (na przykład w kierunku przeciwnym do obrotu wskazówek zegara). Wynika stąd, że liczb pierwszych Eisensteina wystarczy szukać wewnątrz jakiegokolwiek kąta o mierze 60° o wierzchołku w punkcie 0 (np. kąta, którego pierwsze ramię pokrywa się z dodatnią półosią osi odciętych, a drugie ramię przechodzi przez punkt $1\,+\,\omega$).

Przykłady

Małe liczby pierwsze Eisensteina. Te, które leżą na zielonych osiach, odpowiadają całkowitym liczbom pierwszym postaci $3n-1.$

1. Liczbami pierwszymi Eisensteina są następujące liczby naturalne: 2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101.
2. Liczbami pierwszymi Eisensteina nie są liczby 3 ani 7, bo $3=-(1+2\omega )^{2},7=(3+\omega )(2-\omega ).$
3. Liczbami pierwszymi Eisensteina są liczby $2+\omega ,\,3+\omega ,\,4+\omega ,\,5+2\omega .$

Bibliografia

• Шнирелман Л.Г.: Простые числа. Москва-Ленинград: ГИТТЛ, 1940, s. 29–36.
• Ireland K., Rosen M.: A Classical Introduction to Modern Number Theory. New York Heidelberg Berlin: Springer Verlag, 1982, s. 24–28.

Literatura dodatkowa

• John Horton Conway, Richard K. Guy: The Book of Numbers. Springer Verlag, 1996, s. 221–225. ISBN 0-387-97993-X, ISBN 978-0-387-97993-9.
• Боревич З.И., Шафаревич И.Р.: Teopия чисeл. Наука, 1985, s. 149–190.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Eisenstein Integer, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).