Liczby całkowite Eisensteina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Liczby całkowite Eisensteina (nazywane także liczbami Eisensteina-Jacobiego) – liczby postaci , gdzie i liczbami całkowitymi,

,

oraz i jest jednostką urojoną. jest pierwiastkiem zespolonym równania [1][2]. Zarówno suma, różnica, jak i iloczyn liczb Eisensteina również są liczbami Eisensteina, tworzą więc one pierścień. Pierścień ten jest euklidesowy z normą daną wzorem

[3].

W szczególności, pierścień liczb całkowitych Eisensteina jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu. Na płaszczyźnie zespolonej liczby całkowite Eisensteina są węzłami regularnej sieci trójkątnej (złożonej z trójkątów równobocznych, jak na rysunkach poniżej).

Zbiór liczb pierwszych Eisensteina jest (z dokładnością do mnożenia przez niżej wspomniane elementy odwracalne) sumą dwóch zbiorów:

  1. zbioru liczb , takich że a jest liczbą pierwszą, taką że oraz b = 0,
  2. zbioru liczb , takich że jest taką liczbą pierwszą p, że .
Liczby pierwsze Eisensteina mogą być liczbami całkowitymi, ale wiele z nich ma niezerową część urojoną. Na rysunku liczby pierwsze Eisensteina zostały wyróżnione kolorem zielonym, a elementy odwracalne kolorem czerwonym.

Grupa elementów odwracalnych pierścienia liczb całkowitych Eisensteina jest sześcioelementowa i składa się z liczb:

[1][4]

Na płaszczyźnie zespolonej można ją zinterpretować jako grupę obrotów dokoła początku układu współrzędnych generowaną przez obrót o 60° (na przykład w kierunku przeciwnym do obrotu wskazówek zegara). Wynika stąd, że liczb pierwszych Eisensteina wystarczy szukać wewnątrz jakiegokolwiek kąta o mierze 60° o wierzchołku w punkcie 0 (np. kąta, którego pierwsze ramię pokrywa się z dodatnią półosią osi odciętych, a drugie ramię przechodzi przez punkt ).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  1. Liczbami pierwszymi Eisensteina są następujące liczby naturalne: 2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101.
  2. Liczbami pierwszymi Eisensteina nie są liczby 3 ani 7, bo
  3. Liczbami pierwszymi Eisensteina są liczby .
Małe liczby pierwsze Eisensteina. Te, które leżą na zielonych osiach odpowiadają całkowitym liczbom pierwszym postaci 3n – 1.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b Шнирелман, op. cit., s. 29.
  2. Ireland, Rosen, op. cit., s. 29.
  3. Ireland, Rosen, op. cit., s. 24.
  4. Ireland, Rosen, op. cit., s. 30.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • John Horton Conway, Richard K. Guy: The Book of Numbers. Springer Verlag, 1996, s. 221-225. ​ISBN 0-387-97993-X​, ​ISBN 978-0-387-97993-9​.
  • Шнирелман Л. Г.: Простые числа. Москва-Ленинград: ГИТТЛ, 1940, s. 29-36.
  • Ireland K., Rosen M.: A Classical Introduction to Modern Number Theory. New York Heidelberg Berlin: Springer Verlag, 1982, s. 24-28.
  • Боревич З. И., Шафаревич И. Р.: Teopия чисeл. Наука, 1985, s. 149-190.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]