Przestrzeń T1

Przestrzeń $T_{1}$ – termin topologiczny odnoszący się do jednego ze słabszych aksjomatów oddzielania. Dawniej przestrzenie spełniające ten warunek były nazywane też przestrzeniami Frécheta, ale wydaje się, że dzisiaj ta druga nazwa jest używana głównie w innym znaczeniu.

Definicja

Mówimy, że przestrzeń topologiczna $X$ jest $T_{1},$ jeśli dla dowolnych dwóch różnych punktów $x,y$ przestrzeni $X$ istnieje taki zbiór otwarty $U\subseteq X,$ że $x\in U,$ ale $y\notin U.$

Równoważne sformułowanie powyższej definicji jest takie, że przestrzeń $X$ jest przestrzenią $T_{1}$ wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jednopunktowy podzbiór $X$ jest domknięty.

Przykłady i własności

Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych jest $T_{1},$ zwykle przestrzenie niebędące $T_{1}$ uważa się za „bardzo patologiczne”. W szczególności przykładami takich przestrzeni są: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne. Każda przestrzeń dyskretna jest $T_{1};$ w szczególności każda skończona przestrzeń $T_{1}$ jest dyskretna.
Każda przestrzeń T₂ jest przestrzenią $T_{1}.$
Istnieją przestrzenie $T_{1},$ które nie są $T_{2}.$ Zbiór liczb rzeczywistych z topologią dopełnień skończonych (w której zbiorami otwartymi są tylko zbiór pusty $\emptyset$ i zbiory, których dopełnienie jest skończone, np. $\mathbb {R} \setminus \{0\},$ $\mathbb {R} \setminus \{1,2,3,4,5\}$ ) jest przestrzenią T₁, ale nie T₂; podobnie jest z analogicznie definiowaną topologią Zariskiego, czyli topologią dopełnień co najwyżej przeliczalnych.
Każda przestrzeń $T_{1}$ jest przestrzenią T₀, lecz istnieją przestrzenie $T_{0},$ które nie są $T_{1}.$ Na przykład zbiór $X=\{a,b\}$ wyposażony w topologię $\tau _{0}={\big \{}\emptyset ,X,\{a\}{\big \}}$ (przestrzeń Sierpińskiego) jest przestrzenią $T_{0},$ ale nie $T_{1}.$
Podzbiór przestrzeni $T_{1}$ traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią $T_{1}.$ Własność być przestrzenią $T_{1}$ jest więc własnością dziedziczną.
Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni $T_{1}$ jest przestrzenią $T_{1}.$