H-nieskończoność

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria sterowania.

Klasy układów
Układy statyczne - Układy dynamiczne
Układy liniowe - Układy nieliniowe
Układy stacjonarne - Układy niestacjonarne
Układy deterministyczne - Układy stochastyczne
Układy o parametrach skupionych - Układy o parametrach rozłożonych
Układy ciągłe - Układy dyskretne


Wybrane typy regulacji
Regulacja stałowartościowa
Regulacja nadążna
Regulacja optymalna
Regulacja adaptacyjna


Metody klasyczne
Opis typu wejście-wyjście
Stabilność
Transmitancja
Charakterystyki czasowe
Regulacja PID
Charakterystyki częstotliwościowe
Linie pierwiastkowe
Korekcja fazy


Nowoczesna teoria sterowania
Równania stanu - Stan układu
Sterowalność - Przesuwanie biegunów
Regulator liniowo-kwadratowy
Obserwowalność - Obserwator stanu
Filtr Kalmana
Regulator LQG
Sterowanie predykcyjne
Krzepkość - H-nieskończoność


Inne zagadnienia
identyfikacja systemów


Dziedziny powiązane
Teoria układów dynamicznych
Przetwarzanie sygnałów
Sztuczna inteligencja
Teoria decyzji
Metody numeryczne


Perspektywa historyczna
Historia automatyki
Teoretycy sterowania

H-nieskończoność, H, sterowanie H − w teorii sterowania, termin odnoszący się do metod syntezy regulatorów, które pozwalają na uzyskanie krzepkości sterowania lub krzepkości stabilności w układach regulacji. W metodach tych problem sterowania definiuje się jako zadanie sterowania optymalnego, a następnie projektuje regulator, który może takie zadanie wykonać.

Wstęp[edytuj | edytuj kod]

Termin H-nieskończoność pochodzi od nazwy przestrzeni matematycznej, w której zachodzi optymalizacja. H jest przestrzenią funkcji, o wartościach będących macierzami, które są analityczne i ograniczone w otwartej prawej stronie płaszczyzny zespolonej, zdefiniowanej nierównością Re(s) > 0; norma H stanowi maksymalną wartość osobliwą tej funkcji w tej przestrzeni (można to zinterpretować jako maksymalne wzmocnienie w dowolnym kierunku i dla dowolnej częstotliwości; dla systemów jednowymiarowych, jest to maksymalna amplituda charakterystyki częstotliwościowej). Metody H-nieskończoność można wykorzystać do minimalizacji wpływu zaburzeń w układach zamkniętych (w układach regulacji z zamkniętą pętlą sprzężenia zwrotnego) − w zależności od sposobu sformułowania problemu, miara tego wpływu odnosi się do stabilności albo do sterowania.

Jednoczesna optymalizacja krzepkiego sterowania i krzepkiej stabilności jest trudna do uzyskania. Jedną z metod, która bliska jest uzyskania tego, jest metoda H-nieskończoność kształtująca pętlę (sprzężenia zwrotnego) układu. W metodzie tej stosuje się koncepcje klasycznej teorii sterowania w odniesieniu do wielowymiarowych charakterystyk częstotliwościowych, tak by uzyskać odpowiednio krzepkie sterowanie, a następnie optymalizuje się charakterystykę w pobliżu pasma przenoszenia układu, tak by osiągnąć odpowiednio krzepką stabilność. Syntezę regulatora H-nieskończoność można przeprowadzić za pomocą dostępnego na rynku odpowiedniego oprogramowania komercyjnego.

Zalety i wady[edytuj | edytuj kod]

Metody H-nieskończoność mają tą przewagę nad metodami klasycznej teorii sterowania, że można je z łatwością zastosować do systemów wielowymiarowych ze sprzężeniami skrośnymi. Z drugiej jednak strony korzystanie z tych metod wymaga znajomości właściwych zagadnień matematyki, potrzebny jest też dobry model sterowanego układu. Duże znaczenie ma odpowiednie sformułowanie problemu, gdyż każdy regulator jaki powstanie w wyniku syntezy będzie optymalny tylko w sformułowanym sensie − niewłaściwa optymalizacja często zamiast polepszać jedynie pogarsza sterowanie. Ponadto ograniczenia nieliniowe, takie jak nasycenie, ogólnie rzecz biorąc nie są odpowiednio traktowane.

Sformułowanie problemu[edytuj | edytuj kod]

Po pierwsze proces musi zostać przedstawiony zgodnie ze standardową konfiguracją:

H-infty plant representation.png

Obiekt P ma dwa wejścia, egzogeniczne wejście w, które obejmuje sygnał wartości zadanej i zakłócenia, oraz sterowaną zmienną wyjściową u. Są też dwa wyjścia, sygnały uchybu z, które mają być zminimalizowane, i mierzona zmienna v, która ma być wykorzystana do sterowania systemem. Zmienna v używana jest w K do wyliczenia zmiennej sterowanej u. Wszystkie wymienione zmienne są wektorami, a \mathbf{P} i \mathbf{K}macierzami.

Można to wyrazić wzorami:

\begin{bmatrix} z\\ v \end{bmatrix} = \mathbf{P}(s)\, \begin{bmatrix} w\\ u\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}P_{11}(s) & P_{12}(s)\\P_{21}(s) & P_{22}(s)\end{bmatrix} \, \begin{bmatrix} w\\ u\end{bmatrix}
u = \mathbf{K}(s) \, v.

Można zatem zapisać zależność z od w jako:

z=F_\ell(\mathbf{P},\mathbf{K})\,w.

F_\ell zwaną dolną liniową transformacją ułamkową (gdzie indeks \ell to skrót od ang. lower, czyli dolny) można wyrazić wzorem:

F_\ell(\mathbf{P},\mathbf{K}) = P_{11} + P_{12}\,\mathbf{K}\,(I-P_{22}\,\mathbf{K})^{-1}\,P_{21}

Celem projektu sterowania H jest odnalezienie regulatora \mathbf{K}, takiego że F_\ell(\mathbf{P},\mathbf{K}) będzie minimalizowane zgodnie z normą H. Taka sama definicja ma zastosowanie do projektu sterowania H2. Normę z nieskończonością dla macierzy transmitancji F_\ell(\mathbf{P},\mathbf{K}) definiuje się następująco:

||F_\ell(\mathbf{P},\mathbf{K})||_\infty = \sup_\omega \bar{\sigma}(F_\ell(\mathbf{P},\mathbf{K})(j\omega)),

gdzie \bar{\sigma} to maksimum wartości osobliwej macierzy F_\ell(\mathbf{P},\mathbf{K})(j\omega).

Osiągalna norma H-nieskończoność dla układu z zamkniętą pętlą (sprzężenia zwrotnego) dana jest macierzą D_{11} (gdzie układ P jest dany w postaci(A, B_1, B_2, C_1, C_2, D_{11}, D_{12}, D_{22}, D_{21}). Istnieje kilka dróg dojścia do sformułowania regulatora H:

Kształtowanie pętli H-nieskończoność[edytuj | edytuj kod]

Kształtowanie pętli H-nieskończoność to metoda projektowania współczesnej teorii sterowania, która łączy tradycyjne, intuicyjne metody klasycznej teorii sterowania (takie jak całka wrażliwości Bode'go) z metodami optymalizującymi H-nieskończoność. Istota metody polega na tym, że najpierw opisuje się oczekiwane przebiegi charakterystyk i własności redukcji szumu poprzez rozważenie transmitancji w dziedzinie częstotliwości; tak „ukształtowaną” pętlę (sprzężenia zwrotnego) poddaje się następnie operacjom optymalizującym mającym na celu nadanie jej cech krzepkości. Nadawanie tych cech zwykle ma mały wpływ na niskie i wysokie częstotliwości, ale charakterystyka wokół przecięcia wzmocnienia jednostkowego (częstotliwość, przy której amplituda wzmocnienia wynosi 1 nazywa się częstotliwością wzmocnienia jednostkowego lub częstotliwością przecięcia – zob. też charakterystyka częstotliwościowa) jest tak dostosowywana, by zmaksymalizować zapas stabilności układu. Metoda ta została z powodzeniem zaimplementowana w rozwiązaniach przemysłowych[1][2].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. R. Hyde, K. Glover and G. T. Shanks, Computing and Control Engineering Journal, 1995, 6(1):11–16
  2. D. J. Auger, S. Crawshaw and S. L. Hall, Proceedings of the UKACC International Conference on Control, 2008