|
Ten artykuł od 2009-05 wymaga zweryfikowania podanych informacji: dokończyć formatowanie i dopisać definicję intuicyjną. |
Proces Lévy’ego – proces stochastyczny
na przestrzeni probabilistycznej
o wartościach w przestrzeni euklidesowej
spełniający następujące warunki:
-prawie wszędzie,
- ma przyrosty niezależne, tzn. dla każdego ciągu
zmienne losowe
są niezależne,
- ma przyrosty stacjonarne, tzn. rozkład
jest taki sam, jak
dla każdych ![{\displaystyle s,t\geqslant 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a3d388a6c4718a715aae8b93e1345e98cbdc43b)
- proces
jest ciągły według prawdopodobieństwa, tzn. dla każdego
i dla każdego ![{\displaystyle \varepsilon >0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12)
![{\displaystyle \lim _{s\to t}P(|X_{s}-X_{t}|>\varepsilon )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f3e897807c41b2b8066ccca176e468e69c115bf)
Proces stochastyczny spełniający powyższe warunki posiada modyfikację będącą prawostronnie ciągłym z lewostronnymi granicami (z ang. RCLL, z fr. càdlàg) procesem Lévy’ego.
Najważniejszą cechą procesów Lévy’ego, sprawiającą, że są intensywnie badane, jest ich strukturalna stabilność. Cecha ta polega na tym, że suma dowolnej liczby procesów Lévy’ego jest także procesem Lévy’ego, co pozwala spojrzeć na procesy Lévy’ego jak na uogólnienie procesów Gaussa. Jednocześnie procesy Lévy’ego w ogólności nie mają skończonej wariancji, czyli możliwe są dowolnie duże skoki wartości przy procentowym udziale takich skoków znacznie większym niż dla procesów Gaussa, gdzie wariancja jest skończona.
Rozkład procesu Lévy’ego w momencie
jest rozkładem nieskończenie podzielnym. Stąd istnieje eksponencjalne przedstawienie funkcji charakterystycznej procesu Lévy’ego w chwili
– tzw. wzór Lévy’ego-Chinczyna:
![{\displaystyle E[e^{i\langle u,X_{t}\rangle }]=e^{t\psi (u)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c929e9ef1c0b33f868e2b044bdf0fdaa38ecf8)
gdzie:
![{\displaystyle \psi (u)=-{\frac {1}{2}}\langle u,Au\rangle +i\langle b,u\rangle +\int \limits _{R^{d}-\{0\}}\left[e^{i\langle u,y\rangle }-1-i\langle u,y\rangle 1_{\|x\|\leqslant 1}(y)\right]\nu (dy),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d0f312dd617da992c1fb7fc505231854d809f64)
przy czym
jest miarą na
spełniającą warunek
![{\displaystyle {}\,\int \limits _{R^{d}-\{0\}}\left(\|y\|^{2}\wedge 1\right)\nu (dy)<\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af54f955acd7e2acf1e1a34c595c046249d70285)
a
jest macierzą dodatnio określoną. Funkcję
nazywa się wykładnikiem charakterystycznym procesu Lévy’ego. Trójkę
nazywa się trójką charakterystyczną procesu. Zgodnie ze wzorem Lévy’ego-Chinczyna trójka charakterystyczna jednoznacznie określa proces.
Jeśli
to wykładnik charakterystyczny można zapisać w postaci
![{\displaystyle \psi (u)=-{\frac {1}{2}}\langle u,Au\rangle +i\langle b,u\rangle +\int \limits _{R^{d}-\{0\}}\left[e^{i\langle u,y\rangle }-1\right]\nu (dy).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da49e68adcb2d09ef56f4ad3a314509cf571eb42)
Proces Lévy’ego można przedstawić jako sumę
![{\displaystyle X_{t}=bt+X_{t}^{(1)}+X_{t}^{(2)}+X_{t}^{(3)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3b4883e2f45131e55434a12eeb486487715e198)
gdzie
jest wielowymiarowym procesem Wienera z macierzą kowariancji
jest to złożony proces Poissona o skokach większych niż 1, przy czym rozkład i intensywność skoków opisuje miara
Proces
to czysto skokowy martyngał.
Szczególnymi przypadkami procesu Lévy’ego są:
przy czym ![{\displaystyle z\in \mathbb {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c73a06fc98ee5f5ff1f99dff58146b5697cd049)
Miara prawdopodobieństwa w punkcie
Proces Poissona jest rosnącym skokowym procesem. Ze skokami zawsze wielkości 1.
- Proces gamma. Gęstości rozkładu gamma, z parametrami
to: ![{\displaystyle f(x;a,b)={\frac {b^{a}}{\Gamma (a)}}x^{a-1}\exp(-xb),\quad x>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81bc989d8dea50192a0ca402dc6d1bf7f58f7ad0)
Funkcja charakterystyczna jest postaci:
funkcja charakterystyczna to:
![{\displaystyle {\hat {\mu }}(z)=\exp -c|z|+i\gamma z,\quad z\in \mathbb {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e7cf55f446d68ca25d8682fe5fd9b31f93f1f77)
- Proces Wienera. Jego funkcja charakterystyczna, przy
to:
miara zbioru borelowskiego to:
![{\displaystyle \mu (B)={\frac {1}{\sqrt {2\pi a}}}\int \limits _{B}\exp \left({\frac {-(x-\gamma )^{2}}{2a}}\right)dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0561c413804e66af50c3a700c0e7eb792949e2b3)