Rozmaitość różniczkowa

Rozmaitość różniczkowa – rozmaitość topologiczna, której parametryzacje otwartych podzbiorów pokrywających w sumie całą rozmaitość są funkcjami klasy co najmniej $C^{1}$ posiadającą nieosobliwą różniczkę w każdym punkcie dziedziny. Parametryzacje te tworzą atlas. Bez założenia wielości map w atlasie, wiele rozmaitości nie mogłoby być rozmaitościami różniczkowymi, np. sfera, dla której nie istnieje globalna i gładka parametryzacja.

Definicja

Zbiór $M\subseteq \mathbb {R} ^{N}$ jest rozmaitością różniczkową (klasy $C^{1}$ i wymiaru $n$, $0\leq n\leq N$), gdy:

• $\forall _{p\in M}$ istnieje w $\mathbb {R} ^{N}$ otwarte otoczenie $U\ni p$ oraz zbiór otwarty $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ i
• homeomorfizm $\alpha :(U\cap M)\to V$ taki, że
• odwzorowanie $\alpha ^{-1}:V\to U\cap M$ jest klasy $C^{1}$ i
• różniczka $D\alpha ^{-1}(x)$ jest iniekcją dla każdego $x\in V$.

Funkcję $\alpha$ nazywamy mapą rozmaitości, zaś $\alpha ^{-1}$ jej parametryzacją.

Część autorów, w tym Andrzej Birkholc w swej "Analizie wielu zmiennych" homeomorfizm o powyższych własnościach nazywa uogólnionym dyfeomorfizmem, czy też raczej po prostu dyfeomorfizmem rozszerzejąc w ten sposób jego definicję.

Klasy

W definicji można zażądać wyższej gładkości rozmaitości poprzez zastąpienie klasy $C^{1}$ funkcji inną. Rozmaitością różniczkową klasy $C^{r}$ nazywamy rozmaitość, której mapa jest funkcją klasy $C^{r}$ dla $r\in \mathbb {N} ^{*}\cup \{\infty \}$. Rozmaitość topologiczna jest rozmaitością różniczkową klasy $C^{0}$, z kolei rozmaitością analityczną nazywa się rozmaitość klasy $C^{\omega }$.