Wartość oczekiwana: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
poprawa linków |
drobne redakcyjne |
||
Linia 1: | Linia 1: | ||
'''Wartość oczekiwana '''('''wartość średnia, przeciętna, ''' dawniej '''nadzieja matematyczna''') – |
'''Wartość oczekiwana ''' ('''wartość średnia, przeciętna, ''' dawniej '''nadzieja matematyczna''') – wartość określająca spodziewany wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy [[moment zwykły]]. [[Estymator]]em wartości oczekiwanej [[rozkład cechy|rozkładu cechy]] w populacji jest [[średnia arytmetyczna]]. |
||
== Definicja == |
== Definicja formalna == |
||
=== Zmienna dyskretna === |
=== Zmienna dyskretna === |
||
Niech <math>X</math> będzie [[dyskretny rozkład prawdopodobieństwa|zmienną losową typu dyskretnego]]. Wartością oczekiwaną nazywa się sumę iloczynów wartości tej zmiennej losowej oraz prawdopodobieństw z jakimi są one przyjmowane. |
Niech <math>X</math> będzie [[dyskretny rozkład prawdopodobieństwa|zmienną losową typu dyskretnego]]. Wartością oczekiwaną nazywa się sumę iloczynów wartości tej zmiennej losowej oraz prawdopodobieństw z jakimi są one przyjmowane. |
||
Linia 46: | Linia 46: | ||
== Bibliografia == |
== Bibliografia == |
||
{{Cytuj książkę | nazwisko = Jakubowski | imię = Jacek | nazwisko2 = Sztencel | imię2 = Rafał | tytuł = Wstęp do teorii prawdopodobieństwa | data = 2004 | wydawca = Script | miejsce = Warszawa | isbn = 83-89716-01-1 | strony = 79 }} |
* {{Cytuj książkę | nazwisko = Jakubowski | imię = Jacek | nazwisko2 = Sztencel | imię2 = Rafał | tytuł = Wstęp do teorii prawdopodobieństwa | data = 2004 | wydawca = Script | miejsce = Warszawa | isbn = 83-89716-01-1 | strony = 79 }} |
||
[[Kategoria:Rachunek prawdopodobieństwa]] |
[[Kategoria:Rachunek prawdopodobieństwa]] |
Wersja z 16:35, 28 mar 2015
Wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna, dawniej nadzieja matematyczna) – wartość określająca spodziewany wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły. Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.
Definicja formalna
Zmienna dyskretna
Niech będzie zmienną losową typu dyskretnego. Wartością oczekiwaną nazywa się sumę iloczynów wartości tej zmiennej losowej oraz prawdopodobieństw z jakimi są one przyjmowane.
Jeżeli dyskretna zmienna losowa przyjmuje wartości z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio , to wartość oczekiwana zmiennej losowej wyraża się wzorem
- .
Jeżeli zmienna przyjmuje nieskończenie ale przeliczalnie wiele wartości, to we wzorze na jej wartość oczekiwaną występuje w miejsce (istnieje ona tylko wtedy, gdy szereg ten jest zbieżny bezwzględnie).
Zmienna ciągła
Jeżeli jest zmienną losową typu ciągłego zdefiniowaną na przestrzeni probabilistycznej , to wartość oczekiwaną zmiennej losowej definiuje się jako całkę
o ile powyższa całka istnieje, tzn. jeżeli:
- .
Właściwości
Jeśli jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa , to jej wartość oczekiwana wynosi
- .
Jeżeli jest funkcją mierzalną, to
- .
Jeśli istnieją oraz , to:
- , gdzie jest funkcją stałą (wynika z jednorodności sumy/szeregu/całki),
- (wynika z liniowości sumy/szeregu/całki),
- jeżeli są niezależne, to ,
- jeżeli prawie wszędzie, to ,
- .
W mechanice kwantowej
Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w mechanice kwantowej. Wartość oczekiwana obserwabli, której odpowiada operator dla stanu kwantowego układu opisywanego znormalizowaną funkcją falową wynosi , gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.
W notacji Diraca wzór ten można zapisać: .
Nieoznaczoność wartości oczekiwanej , czyli wariancja , wynosi .
Zobacz też
Bibliografia
- Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004, s. 79. ISBN 83-89716-01-1.