Zbieżność prawie wszędzie: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
→Teoria miary: nie może być w definicji wtedy i tylko wtedy |
AndrzeiBOT (dyskusja | edycje) m Poprawiam linki wewnętrzne i wykonuje drobne zmiany typograficzne i techniczne. |
||
Linia 34: | Linia 34: | ||
* [[zbieżność według miary]] |
* [[zbieżność według miary]] |
||
* [[zbieżność według rozkładu]] |
* [[zbieżność według rozkładu]] |
||
* [[twierdzenie |
* [[twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej]] |
||
* [[twierdzenie |
* [[twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej]] |
||
== Bibliografia == |
== Bibliografia == |
Wersja z 11:45, 21 cze 2018
Zbieżność prawie wszędzie ciągu funkcji względem (pewnej) miary to rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Pojęcie to pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W teorii prawdopodobieństwa i statystyce znane jest ono pod nazwą zbieżność z prawdopodobieństwem 1 lub prawie na pewno.
Definicja
Teoria miary
Niech będzie przestrzenią mierzalną oraz niech będzie miarą. Niech będzie przestrzenią metryczną, oraz .
Mówimy, że ciąg jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji (względem miary na zbiorze ), jeśli istnieje zbiór mierzalny taki, że
- dla
Ciąg funkcji jest więc zbieżny prawie wszędzie do funkcji , jeśli jest on zbieżny punktowo do funkcji poza zbiorem miary zero.
Teoria prawdopodobieństwa
Niech będzie przestrzenią probabilistyczną.
- Przypadek jednowymiarowy
Niech będą zmiennymi losowymi. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) do zmiennej , jeżeli
- Przypadek wielowymiarowy
Niech będą wektorami losowymi. Mówimy, że ciąg wektorów losowych jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) do wektora , jeżeli
gdzie oznacza normę euklidesową w
Uwagi
- Pojęcie zbieżności z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) jest odpowiednikiem zbieżności prawie wszędzie. W rachunku prawdopodobieństwa i statystyce terminy te są stosowane zamiennie.
- Zdanie: „ciąg jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji ”, używając symboliki matematycznej zapisuje się krótko:
Własności
- Każdy ciąg zbieżny prawie jednostajnie jest zbieżny prawie wszędzie.
- Jeśli miara jest σ-skończona oraz ciąg jest -prawie wszędzie zbieżny do funkcji , to ciąg ten jest zbieżny według miary (do tej samej funkcji). W szczególności, jeśli ciąg zmiennych losowych określonych na danej przestrzeni probabilistycznej jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 to jest on zbieżny według prawdopodobieństwa.
Zobacz też
- zbieżność według miary
- zbieżność według rozkładu
- twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej
- twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej
Bibliografia
- Jarosław Bartoszewicz: Wykłady ze statystyki matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1989, s. 52. ISBN 83-01-09054-5.